[论文解读] Notes on Chain Recurrence and Lyapunonv Functions

John Franks|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2017

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems被引用 5

一句话总结

本文对拓扑动力系统中的链递归与完备李雅普诺夫函数提供了简明阐述，通过康利的基本定理证明了紧致度量空间上同胚映射存在完备李雅普诺夫函数。本文确立了链递归集是紧致且不变的，并表明可构造一个连续函数以分类链传递分量，并在链递归集外部严格递减。

ABSTRACT

This short expository note provides an introduction to the concept of chain recurrence in topological dynamics and a proof of the existence complete Lyapunov functions for homeomorphisms of compact metric spaces due to Charles Conley. I have used it as supplementary material in introductory dynamics courses.

研究动机与目标

• 为动力系统领域的研究人员介绍并阐明拓扑动力系统中链递归的概念。
• 提供一个自包含的证明，证明由查尔斯·康利确立的紧致度量空间上同胚映射存在完备李雅普诺夫函数。
• 展示如何利用链递归与吸引子-排斥子对将系统的动力分解为链传递分量。
• 建立完备李雅普诺夫函数的水平集与系统链传递分量之间的对应关系。
• 表明此类函数下链递归集的像是ℝ中的紧致、无处稠密集，类似于光滑动力系统中的临界值。

提出的方法

• 使用ε-链定义链递归：若对任意ε > 0，存在一个从x出发并终止于x的有限点列，使得f(xi)与xi+1之间的距离小于ε，则称点x为链递归点。
• 通过隔离邻域定义吸引子与排斥子：若f(cl(U)) ⊂ U，且cl(U)的正向迭代交集等于A，则紧致集A为吸引子。
• 构造连续函数g₀(x) = d(x,A)/(d(x,A) + d(x,A*))以分离吸引子与排斥子集合。
• 定义g₁(x) = sup{g₀(fⁿ(x)) | n ≥ 0}，以构造沿轨道非增的函数，且在X \ (A ∪ A*)上连续。
• 通过可数个吸引子-排斥子对关联的函数的加权和g(x) = Σ (2gₙ(x)/3ⁿ) 构造最终的李雅普诺夫函数，确保其收敛性与连续性。
• 利用g(x)的三进制展开确保g(R(f))包含于康托集，从而保证其紧致性与无处稠密性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用链递归与吸引子-排斥子对分解紧致度量空间上同胚映射的动力？
• RQ2 何种条件可保证存在一个完备李雅普诺夫函数，以分类链传递分量？
• RQ3 链递归集与不变测度及循环点的结构有何关联？
• RQ4 能否构造一个连续函数，使其在链递归集外部严格递减，且在链传递分量上为常数？
• RQ5 完备李雅普诺夫函数下链递归集的像是何种拓扑性质？

主要发现

• 链递归集R(f)是闭集且在f下不变，当f在开集上保持具有全支撑的有限测度时，R(f)等于整个空间X。
• 对任意x, y ∈ X及ε > 0，若f保持具有全支撑的有限测度且X连通，则存在一条从x到y的ε-链。
• 对任意紧致度量空间上的同胚映射f，存在完备李雅普诺夫函数g: X → ℝ，满足：当x ∉ R(f)时g(f(x)) < g(x)，且当x, y ∈ R(f)时g(x) = g(y)当且仅当x ∼ y。
• g(R(f))是ℝ的紧致、无处稠密集，具体包含于康托三分集，因此其内部为空。
• g的水平集恰好对应链传递分量：g(x) = g(y)当且仅当x与y链等价。
• 通过可数个吸引子-排斥子对关联的函数的加权和构造g，确保一致收敛性与连续性。