[论文解读] Notes on Convex Sets, Polytopes, Polyhedra, Combinatorial Topology, Voronoi Diagrams and Delaunay Triangulations

Jean Gallier|ArXiv.org|May 2, 2008

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 34被引用 48

一句话总结

本文提供了一篇关于凸集、多面体、多面体及组合拓扑学的严谨且自包含的教程，重点聚焦于Voronoi图与Delaunay三角剖分。通过使用射影几何与球极投影，本文建立了一个新框架，严格证明了在将空间提升至球面与抛物面时，Delaunay三角剖分与Voronoi图的等价性，解决了计算几何中的基础性模糊问题。

ABSTRACT

Some basic mathematical tools such as convex sets, polytopes and combinatorial topology, are used quite heavily in applied fields such as geometric modeling, meshing, computer vision, medical imaging and robotics. This report may be viewed as a tutorial and a set of notes on convex sets, polytopes, polyhedra, combinatorial topology, Voronoi Diagrams and Delaunay Triangulations. It is intended for a broad audience of mathematically inclined readers. I have included a rather thorough treatment of the equivalence of V-polytopes and H-polytopes and also of the equivalence of V-polyhedra and H-polyhedra, which is a bit harder. In particular, the Fourier-Motzkin elimination method (a version of Gaussian elimination for inequalities) is discussed in some detail. I also included some material on projective spaces, projective maps and polar duality w.r.t. a nondegenerate quadric in order to define a suitable notion of ``projective polyhedron'' based on cones. To the best of our knowledge, this notion of projective polyhedron is new. We also believe that some of our proofs establishing the equivalence of V-polyhedra and H-polyhedra are new.

研究动机与目标

• 为几何建模、机器人学与医学影像中使用的凸几何与组合拓扑学概念提供全面且数学严谨的基础。
• 通过严格证明从球面到抛物面的射影映射的正确性，解决Delaunay三角剖分标准提升构造中的模糊性。
• 基于锥体与非退化二次曲面的对偶性，提出并形式化‘射影多面体’的概念，实现对无界多面体的一致处理。
• 使用Fourier-Motzkin消去法建立V-多面体与H-多面体的等价性，这是处理线性不等式组的关键工具。

提出的方法

• 利用射影几何在射影空间中定义凸多面体，从而对无界结构及球极投影进行明确定义的处理。
• 应用从球面到抛物面的逆球极投影，将Delaunay三角剖分与Voronoi图进行映射，证明该映射保持组合结构。
• 提出一种基于锥体与非退化二次曲面对偶性的新‘射影多面体’概念，这对于处理无界情形至关重要。
• 采用Fourier-Motzkin消去法作为计算方法，证明V-多面体与H-多面体的等价性，将标准线性规划技术扩展至不等式系统。
• 使用壳化（shellings）与组合拓扑学证明多面体的Euler-Poincaré公式与上界定理，特别关注单纯多面体与简单多面体。
• 应用对偶性证明：即使原多面体非单纯，Delaunay多面体的对偶仍为简单多面体，原因在于其对偶中存在具有无穷远顶点的无界面，这些面不计入顶点数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用射影几何严格证明Delaunay三角剖分的标准提升构造的正确性，特别是在从球面到抛物面的映射仅在射影空间中明确定义的情况下？
• RQ2 在Voronoi与Delaunay复形的背景下，何种‘射影多面体’概念可实现对无界多面体及其对偶性的统一处理？
• RQ3 当处理线性不等式组与无界区域时，如何建立V-多面体与H-多面体之间的等价性？
• RQ4 壳化在证明多面体的Euler-Poincaré公式与上界定理中起什么作用？它与Delaunay与Voronoi复形的结构有何关联？
• RQ5 为何Voronoi图与Delaunay三角剖分在从球面到抛物面的球极投影下保持不变？其几何与拓扑条件是什么？

主要发现

• 从球面到抛物面的射影映射能正确保持Delaunay三角剖分与Voronoi图的组合结构，证明两种构造产生等价结果。
• 即使原多面体非单纯，Delaunay多面体的对偶仍为简单多面体，原因在于其对偶中存在具有无穷远顶点的无界面，这些面不计入顶点数。
• 通过Fourier-Motzkin消去法建立了V-多面体与H-多面体的等价性，该方法将高斯消去法推广至线性不等式组。
• 当点集P处于一般位置时，Voronoi图的顶点对应于到d+1个点等距的点，且Delaunay三角剖分为单纯复形。
• 最大空圆问题可通过检查Voronoi顶点与边来求解，若最优中心严格位于凸包内部，则其位于Voronoi顶点处。
• 点集的最小生成树包含于Delaunay三角剖分中，从而可通过基于Delaunay的方法高效计算最小生成树。