[论文解读] Notes on several phenomenological laws of quantum gravity
本文在量子引力中提出了一个协变质量界限猜想，将基本常数 $G$、$π$ 和 $c$ 与涉及质量、面积和能量的几何不等式联系起来。推导出对于 $m < m_p$ 有最大加速度 $a < \frac{mc^3}{\hbar}$，对于 $m > m_p$ 有 $a < \frac{c^4}{Gm}$，并通过超轻暗能量粒子提出 Milgrom 常数 $a_0$ 的物理起源，同时将 $π/c$ 重新解释为几何面积界限。
Phenomenological approaches to quantum gravity try to infer model-independent laws by analyzing thought experiments and combining both quantum, relativistic, and gravitational ingredients. We first review these ingredients -three basic inequalities- and discuss their relationships with the nature of fundamental constants. In particular, we argue for a covariant mass bound conjecture: in a spacetime free of horizon, the mass inside a surface $A$ cannot exceed $16 πG^2 m^2< A $, while the reverse holds in a spacetime with horizons. This is given a precise definition using the formalism of light-sheets. We show that $\hbar/c$ may be also given a geometrical interpretation, namely $4 π\hbar^2/m^2< A$. We then combine these inequalities and find/review the following: (1) Any system must have a size greater than the Planck length, in the sense that there exists a minimal area (2) We comment on the Minimal Length Scenarios and the fate of Lorentz symmetry near the Planck scale (3) Quanta with transplanckian frequencies are allowed in a large enough boxes (4) There exists a mass-dependent maximal acceleration given by $m c^3/\hbar$ if $mm_p$ (5) There exists a mass dependent maximal force and power (6) There exists a maximal energy density and pressure (7) Physical systems must obey the Holographic Principle (8) Holographic bounds can only be saturated by systems with $m>m_p$; systems lying on the ``Compton line'' $l \sim 1/m$ are fundamental objects without substructures (9) We speculate on a new bound from above for the action. In passing, we note that the maximal acceleration is of the order of Milgrom's acceleration $a_0$ for ultra-light particles ($m\sim H_0)$ that could be associated to the Dark Energy fluid. This suggests designing toy-models in which modified gravity in galaxies is driven by the DE field, via the maximal acceleration principle.
研究动机与目标
- 从涉及 $G$、$\hbar$ 和 $c$ 的基本不等式出发，推导出与模型无关的量子引力现象学定律。
- 利用光片形式化方法提出协变质量界限猜想，区分具有视界与不具有视界的时空。
- 将 $π/c$ 几何化为最小面积界限，且该解释独立于时间演化。
- 探讨在普朗克尺度附近，洛伦兹对称性、最大加速度与全息原理的含义。
- 研究最大加速度原理是否能解释暗能量背景下 Milgrom 常数 $a_0$ 的物理起源。
提出的方法
- 从普朗克尺度 $m_p$、$l_p$、$t_p$ 推导出三个基本不等式，识别出 $c = l_p/t_p$、$G = l_p^3/(m_p t_p^2)$ 和 $\hbar = m_p l_p^2 / t_p$。
- 提出一个协变质量界限：$ \frac{m[L[B]]^2}{c^4} < \frac{A[B]}{16\pi G^2} $，适用于无视界的时空。
- 提出一个关于 $π/c$ 的几何不等式：$ A[B] > \frac{\pi \hbar^2}{m[L[B]]^2 c^2} $，将量子作用与四维时空中的面积联系起来。
- 结合这些不等式，推导出对尺寸、能量密度、力、功率和加速度的约束，包括对于 $m < m_p$ 的最大加速度 $a < \frac{mc^3}{\hbar}$。
- 将最大加速度界限应用于超轻粒子（$m \sim H_0$），发现其与 Milgrom 的常数 $a_0$ 数量级一致，暗示与暗能量存在关联。
- 利用全息原理与光片形式化方法，推导出对信息与能量密度的约束，表明仅当 $m > m_p$ 时才会达到饱和。
实验结果
研究问题
- RQ1能否使用光片形式化方法提出一个协变质量界限，以区分具有视界与不具有视界的时空？
- RQ2$\hbar/c$ 在四维时空中的几何意义是什么？它是否导致一个最小面积界限？
- RQ3最大加速度原理 $a < \frac{mc^3}{\hbar}$（当 $m < m_p$ 时）与 $a < \frac{c^4}{Gm}$（当 $m > m_p$ 时）是否能为 Milgrom 常数 $a_0$ 提供物理起源？
- RQ4三个基本不等式——最大速度、质量-能量界限与量子作用——如何约束普朗克尺度附近的物理系统？
- RQ5全息原理与面积界限是否仅在 $m > m_p$ 的系统中才能达到饱和，从而暗示这些系统是基本且无结构的？
主要发现
- 提出了一个协变质量界限猜想：在无视界的时空中，$ \frac{m[L[B]]^2}{c^4} < \frac{A[B]}{16\pi G^2} $，而在有视界的时空中该不等式的反向成立。
- 将 $\hbar/c$ 几何化为 $ A[B] > \frac{\pi \hbar^2}{m[L[B]]^2 c^2} $，意味着任何物理系统都存在一个最小面积。
- 推导出依赖于质量的最大加速度：当 $ m < m_p $ 时 $ a < \frac{mc^3}{\hbar} $，当 $ m > m_p $ 时 $ a < \frac{c^4}{Gm} $，与 Caianiello 的界限一致。
- 对于超轻粒子（$ m \sim H_0 $）的最大加速度与 Milgrom 常数 $ a_0 $ 数量级一致，暗示其可能与暗能量有关。
- 全息原理对信息与能量密度的约束仅在 $ m > m_p $ 的系统中达到饱和，暗示这些系统是基本且无结构的。
- 论文推测作用量存在上限，建议在宇宙学背景下时间积分上限为 $ t < \mathcal{O}(1/H) $。
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