[论文解读] Notes on the arithmetic of Hilbert modular forms

A. Raghuram, Naomi Tanabe|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 37被引用 32

一句话总结

本文使用正则代数 cuspidal 自守表示中的周期关系，对关于全实域上全模形式的标准L函数的Shimura临界值定理给出了一个新证明。它证明了中心临界值除以适当的$2\pi i$幂次和一个周期后，属于该表示的有理性域，且具有自守伽罗瓦等变性；并通过希尔伯特模形式与全实域上$\mathrm{GL}_2$自守表示之间精确的字典，调和了经典周期$u(r,\mathbf{f})$与上同调周期$p^\epsilon(\Pi)$。

ABSTRACT

The purpose of this semi-expository article is to give another proof of a classical theorem of Shimura on the critical values of the standard L-function attached to a Hilbert modular form. Our proof is along the lines of previous work of Harder and Hida (independently). What is different is an organizational principle based on the period relations proved by Raghuram and Shahidi for periods attached to regular algebraic cuspidal automorphic representations. The point of view taken in this article is that one need only prove an algebraicity theorem for the most interesting L-value, namely, the central critical value of the L-function of a sufficiently general type of a cuspidal automorphic representation. The period relations mentioned above then gives us a result for all critical values. To transcribe such a result into a more classical context we also discuss the arithmetic properties of the dictionary between holomorphic Hilbert modular forms and automorphic representations of GL(2) over a totally real number field F.

研究动机与目标

• 为希尔伯特模形式的标准L函数临界值的Shimura定理提供一种基于上同调的新证明。
• 通过正则代数 cuspidal 自守表示的语境，利用周期关系建立标准L函数中心临界值的伽罗瓦等变性。
• 构建一个自包含且与算术兼容的字典，连接全纯希尔伯特模形式与全实域上$\mathrm{GL}_2$的自守表示，即使狭义类数不为1也成立。
• 阐明经典周期$u(r,\mathbf{f})$与上同调周期$p^\epsilon(\Pi)$之间的关系，证明其在伽罗瓦作用与扭变下的相容性。

提出的方法

• 利用Raghuram-Shahidi的周期关系，将上同调周期$p^\epsilon(\Pi)$与$L$-值的伽罗瓦共轭联系起来。
• 应用全纯希尔伯特模形式与$\mathrm{GL}_2(\mathbb{A}_F)$上正则代数 cuspidal 自守表示之间的字典，适用于任意全实域$F$。
• 在Whittaker模型和$\Pi_f$的上同调实现上构造有理结构，从而定义周期$p^\epsilon(\Pi)$。
• 建立伽罗瓦等变性：$\sigma\left(\frac{L_f(1/2,\Pi)}{(2\pi i)^{d_\infty} p^{(+,\dots,+)}(\Pi)}\right) = \frac{L_f(1/2,{}^\sigma\Pi)}{(2\pi i)^{d_\infty} p^{(+,\dots,+)}({}^\sigma\Pi)}$。
• 在偶权条件下推导关系$p^{++}(\Pi(\mathbf{f})) \sim (2\pi i)^{\sum_j (k_0 - k_j)/2} u(++, \mathbf{f})$，将经典周期与上同调周期联系起来。
• 通过代数Hecke特征标的扭变，将周期关系推广至奇权及所有符号$\epsilon \in (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用上同调自守周期与伽罗瓦等变性，重新证明希尔伯特模形式$L$-函数临界值的Shimura定理？
• RQ2 经典周期$u(r,\mathbf{f})$与与自守表示相关联的上同调周期$p^\epsilon(\Pi)$之间的确切关系是什么？
• RQ3 希尔伯特模形式与全实域上$\mathrm{GL}_2$自守表示之间的字典是否与$\mathrm{Aut}(\mathbb{C})$的作用相容？
• RQ4 周期在代数Hecke特征标扭变下如何变换？这与扭变$L$-函数的临界值有何关联？
• RQ5 中心临界值$L_f(1/2, \Pi)$在有理性域与周期方面的算术意义是什么？

主要发现

• 中心临界值$L_f(1/2, \Pi)$除以$(2\pi i)^{d_\infty} p^{(+,\dots,+)}(\Pi)$属于有理性域$\mathbb{Q}(\Pi)$，且对所有$\sigma \in \mathrm{Aut}(\mathbb{C})$，伽罗瓦等变性成立。
• 上同调周期$p^{++}(\Pi(\mathbf{f}))$与经典周期$u(++, \mathbf{f})$的关系为：$p^{++}(\Pi(\mathbf{f})) \sim (2\pi i)^{\sum_j (k_0 - k_j)/2} u(++, \mathbf{f})$，其中$\sim$表示相差一个$\mathbb{Q}(\mathbf{f})^*$中的元素。
• 希尔伯特模形式$\mathbf{f}$的有理性域$\mathbb{Q}(\mathbf{f})$与关联自守表示$\Pi(\mathbf{f})$的有理性域$\mathbb{Q}(\Pi(\mathbf{f}))$一致。
• 对任意$\epsilon \in (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n$，周期$p^\epsilon(\Pi)$满足与$u(\epsilon, \mathbf{f})$在Hecke特征标扭变下类似的伽罗瓦等变性。
• 通过扭变，周期关系可推广至奇权，其形式结构与偶权情形相同。
• 希尔伯特模形式与$\mathrm{GL}_2$自守表示之间的字典是$\mathrm{Aut}(\mathbb{C})$-等变的，即使$F$的狭义类数不为1也成立。