[论文解读] Notes on $\widetilde{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{R})$ representations

Alexei Kitaev|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2017

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 7被引用 39

一句话总结

本文对 $\tilde{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{R})$ 的幺正与非幺正表示提供了详尽的物理导向性阐述，包含矩阵元、Casimir 本征函数及 Plancherel 测度的显式公式。文章建立了其与双曲面上旋量及二维反 de Sitter 空间之间的联系，并通过 Clebsch-Gordan 系数与显式归一化的 intertwining 算子，推导出幺正不可约表示的张量积分解，涵盖补补系列与离散系列。

ABSTRACT

These notes describe representations of the universal cover of $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ with a view toward applications in physics. Spinors on the hyperbolic plane and the two-dimensional anti-de Sitter space are also discussed.

研究动机与目标

• 为量子场论与 Sachdev-Ye-Kitaev (SYK) 模型中的应用所驱动，提供 $\tilde{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{R})$ 表示理论的可访问但技术详尽的阐述。
• 推导 $\tilde{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{R})$ 的不可约幺正表示的矩阵元、Casimir 本征函数及 Plancherel 测度的显式公式。
• 建立 $\tilde{\mathfrak{G}}$ 上的 Casimir 本征函数与双曲面上旋量及二维反 de Sitter 空间 ($\mathrm{AdS}_2$) 之间的对应关系。
• 通过 Clebsch-Gordan 系数与 intertwining 算子，计算幺正不可约表示的张量积分解，包括补补系列与离散系列。
• 提供连续系列与离散系列中 intertwining 算子的显式归一化因子，以支持关联函数与量子引力模型中的物理应用。

提出的方法

• 将 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})$ 的万有覆叠 $\tilde{\mathfrak{G}}$ 作为 SYK 模型中时间有序关联函数的对称群，其中 $z = \exp(2\pi t/\beta)$ 将实时间映射到单位圆。
• 在 $\tilde{\mathfrak{G}}$ 上应用傅里叶变换以推导 Plancherel 测度，使用左、右群作用的显式坐标及 Casimir 本征函数。
• 通过群上的 $L$-与 $R$-作用，推导不可约表示的矩阵元与 Plancherel 测度，其显式表达式以超几何函数表示。
• 通过两种标准规范与空间的复嵌入，将 $\mathrm{H}^2$ 与 $\mathrm{AdS}_2$ 上的旋量构造为 Casimir 方程的解。
• 计算不可约表示 $\mathcal{D}^{+}_{\lambda_1} \otimes \mathcal{D}^{+}_{\lambda_2}$ 与 $\mathcal{D}^{+}_{\lambda_1} \otimes \mathcal{D}^{-}_{\lambda_2}$ 的 Clebsch-Gordan 系数，通过 intertwining 算子范数实现显式归一化。
• 利用投影算子 $\Pi^{+-}_{\lambda_1,\lambda_2;\lambda}$ 推导张量积空间中恒等算子的完整分解，其显式表达式涉及超几何函数与伽马函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地分类与参数化 $\tilde{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{R})$ 的幺正与非幺正表示，以适用于物理应用？
• RQ2 不可约表示的矩阵元与 Plancherel 测度在 $\tilde{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{R})$ 上的显式形式为何？
• RQ3 $\tilde{\mathfrak{G}}$ 上的 Casimir 本征函数如何与双曲面上及二维反 de Sitter 空间中的旋量相关联？
• RQ4 $\tilde{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{R})$ 的幺正不可约表示的张量积分解结构为何？
• RQ5 在连续系列、离散系列与补补系列表示中，intertwiner 的归一化因子为何？

主要发现

• 连续系列 $\mathcal{D}^{+}_{1/2+is}$ 的 Plancherel 测度为 $\frac{2s \sinh(2\pi s) |\Gamma(\lambda_1 + \lambda_2 - 1/2 - is)|^2}{\cosh(2\pi s) + \cos(2\pi\nu)}$，且 intertwining 算子 $\Upsilon^{+-}_{\lambda_1,\lambda_2;1/2+is}$ 的归一化为 $\frac{\cosh(2\pi s) + \cos(2\pi\nu)}{2s \sinh(2\pi s) |\Gamma(\lambda_1 + \lambda_2 - 1/2 - is)|^2} \delta(s - s') \mathbf{1}^\nu_{1/2+is}$。
• 对于离散系列 $\mathcal{D}^{+}_{\lambda}$，其中 $\lambda = \lambda_1 - \lambda_2 - p > 1/2$，intertwiner 的范数为 $\frac{1}{(2\lambda - 1) \Gamma(\lambda_1 + \lambda_2 - \lambda) \Gamma(\lambda_1 + \lambda_2 - 1 + \lambda)} \mathbf{1}^+_{\lambda}$。
• 在补补系列中，$\lambda = \lambda_1 + \lambda_2 < 1/2$ 时，intertwiner 范数为 $\frac{\sin(2\pi\lambda_1) \sin(2\pi\lambda_2) \Gamma(1 - 2\lambda)}{\pi^2} \mathbf{1}^\nu_{\lambda}$。
• $\mathcal{D}^{+}_{\lambda_1} \otimes \mathcal{D}^{-}_{\lambda_2}$ 的张量积分解包含：对 $s \in (0, \infty)$ 的连续积分，Plancherel 测度如前所述；对 $\lambda = |\nu| - p > 1/2$ 的离散系列求和；当 $\lambda_1 + \lambda_2 < 1/2$ 时，还包括一个补补系列项。
• 投影算子 $\tilde{\Pi}^{+-}_{\lambda_1,\lambda_2;\lambda}$ 表示为超几何函数 $\mathbf{F}(\lambda + \nu, \lambda - \nu, 1; v)$，其中 $v = \frac{(z_1 - w_2)(z_2 - w_1)}{(z_1 - w_1)(z_2 - w_2)}$，为 Clebsch-Gordan 系数提供生成函数。
• 当 $m = \nu$ 时，Clebsch-Gordan 系数的部分生成函数为：对于离散系列，$\tilde{Y}^{+-}_{\lambda_1,\lambda_2;\lambda,\nu}(z_1,z_2) = z_1^{\lambda_1} z_2^{-\lambda_2 - p} (1 - z_1/z_2)^{-2\lambda_2 - p}$；对于补补系列，$z_1^{\lambda_1} z_2^{\lambda_2} \mathbf{F}(\lambda_1, \lambda_2, 1; z_1/z_2)$。