[论文解读] Numbers with integer expansion in the numeration system with negative base

Petr Ambrož, Daniel Dombek+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 4被引用 6

一句话总结

本文研究了伊藤与佐田浩一提出的负基记数系统中整数展开的结构。它刻画了 (−β)-整数集 ℤ₋ᵦ，推导出其相邻元素间的距离，并基于 ℤ₋ᵦ 的自相似性，构造了一个在特定代换下不变的无限词 v₋ᵦ。主要贡献在于构造了代换不变的无限词，并比较了在三次 Pisot 基下由 (−β)-整数与 β-整数生成的 Rauzy 图形，揭示了它们在几何与组合性质上的相似性与根本差异。

ABSTRACT

In this paper, we study representations of real numbers in the positional numeration system with negative basis, as introduced by Ito and Sadahiro. We focus on the set $\Z_{-β}$ of numbers whose representation uses only non-negative powers of $-β$, the so-called $(-β)$-integers. We describe the distances between consecutive elements of $\Z_{-β}$. In case that this set is non-trivial we associate to $β$ an infinite word $\boldsymbol{v}_{-β}$ over an (in general infinite) alphabet. The self-similarity of $\Z_{-β}$, i.e., the property $-β\Z_{-β}\subset \Z_{-β}$, allows us to find a morphism under which $\boldsymbol{v}_{-β}$ is invariant. On the example of two cubic irrational bases $β$ we demonstrate the difference between Rauzy fractals generated by $(-β)$-integers and by $β$-integers.

研究动机与目标

• 刻画 (−β)-整数集 ℤ₋ᵦ，定义为仅使用 −β 的非负幂次展开的实数。
• 确定 ℤ₋ᵦ 中相邻元素之间的距离，并建立该集合非平凡的条件。
• 当集合非平凡时，利用自相似性，将无限字母表上的无限词 v₋ᵦ 与 ℤ₋ᵦ 关联。
• 利用自相似性 −βℤ₋ᵦ ⊆ ℤ₋ᵦ，构造一个使 v₋ᵦ 不变的代换。
• 针对特定的三次 Pisot 数 β，比较由 (−β)-整数与 β-整数生成的 Rauzy 图形，突出其结构差异。

提出的方法

• 使用类比 Rényi 的 β-展开的贪心算法，定义实数在负基 −β < −1 下的 (−β)-展开。
• 通过变换 T₋ᵦ 生成数位序列，并将 ℤ₋ᵦ 定义为仅包含 −β 的非负幂次展开的实数集合。
• 利用在基 −β 下 1 的 Rényi 展开及数位字符串的交替排序，刻画 ℤ₋ᵦ 中相邻元素之间的距离。
• 通过编码相邻 (−β)-整数之间的距离序列，在无限字母表上构造无限词 v₋ᵦ。
• 利用自相似性 −βℤ₋ᵦ ⊆ ℤ₋ᵦ 推导出使 v₋ᵦ 不变的代换。
• 对于具有的 (−β)-移位，将 v₋ᵦ 投影到有限字母表，得到在本原代换下不变的无限词 u₋ᵦ。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些基 −β，(−β)-整数集 ℤ₋ᵦ 是非平凡的？
• RQ2 ℤ₋ᵦ 中相邻元素之间的距离是什么？与经典 β-整数中的距离相比如何？
• RQ3 如何利用 ℤ₋ᵦ 的自相似性，构造一个使关联的无限词 v₋ᵦ 不变的代换？
• RQ4 对于相同的三次 Pisot 基 β，由 (−β)-整数与 β-整数生成的 Rauzy 图形有何异同？
• RQ5 在何种条件下 (−β)-移位形成具有的系统，这对关联无限词 u₋ᵦ 的结构有何影响？

主要发现

• 当且仅当在基 −β 下 1 的 Rényi 展开不是周期为 1 的纯周期展开，且集合中无聚点时，ℤ₋ᵦ 非平凡。
• 对于 Tribonacci 基 β ≈ 1.839，相邻 (−β)-整数之间的距离为 Δ₀⁻ = 1，Δ₁⁻ = β − 1，Δ₂⁻ = 1/β，与经典 β-整数中的距离一致。
• 对于满足方程 x³ − 2x² − x + 1 = 0 的 β，ℤ₋ᵦ 中的距离为 Δ₀⁻ = 1，Δ₁⁻ = β − 1，Δ₂⁻ = 1 − 1/β，与 ℤᵦ 中的 Δ₁⁺ = β − 2 显著不同。
• 与 ℤ₋ᵦ 关联的无限词 u₋ᵦ 在代换 φ²: 0 ↦ 02101, 1 ↦ 021101, 2 ↦ 021 下不变，该代换与生成 uᵦ 的代换不同。
• 对于 Tribonacci 基，ℤ₋ᵦ 与 ℤᵦ 的 Rauzy 图形在平移意义下重合，这是由于代换 φ² 与 φᵦ² 的共轭性所致。
• 对于最小多项式为 x³ − 2x² − x + 1 的基 β，ℤ₋ᵦ 与 ℤᵦ 的 Rauzy 图形在几何上不同，反映出其距离结构与代换动力学的差异。