[论文解读] Numerical Polynomial Homotopy Continuation Method to Locate All The Power Flow Solutions

Dhagash Mehta, Hung T. Nguyen+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2014

Power System Optimization and Stability被引用 5

一句话总结

本文引入数值多项式同伦延续法（NPHC）系统性地定位电力系统功率方程的所有解，利用复数同伦延续结合 $γ$-技巧，确保所有解均可被找到且无分岔问题。该方法在数学上保证找到所有解，在最多14节点的系统上得到验证，并为暂态与电压稳定分析提供可扩展、可并行化的框架。

ABSTRACT

The manuscript addresses the problem of finding all solutions of power flow equations or other similar nonlinear system of algebraic equations. This problem arises naturally in a number of power systems contexts, most importantly in the context of direct methods for transient stability analysis and voltage stability assessment. We introduce a novel form of homotopy continuation method called the numerical polynomial homotopy continuation (NPHC) method that is mathematically guaranteed to find all the solutions without ever encountering a bifurcation. The method is based on embedding the real form of power flow equation in complex space, and tracking the generally unphysical solutions with complex values of real and imaginary parts of the voltage. The solutions converge to physical real form in the end of the homotopy. The so-called $\\gamma$-trick mathematically rigorously ensures that all the paths are well-behaved along the paths, so unlike other continuation approaches, no special handling of bifurcations is necessary. The method is \ extit{embarrassingly parallelizable} and can be applied to reasonably large sized systems. We demonstrate the technique by analysis of several standard test cases up to the 14-bus system size. Finally, we discuss possible strategies for scaling the method to large size systems, and propose several applications for transient stability analysis and voltage stability assessment.

研究动机与目标

• 为解决寻找非线性功率方程所有解的挑战，这对暂态与电压稳定评估至关重要。
• 通过引入数学上严谨的方法，克服现有方法的局限性——如无法找到所有解或对分岔敏感的问题。
• 开发一种可扩展、可并行化的计算方法，能够处理实际规模的电力系统，最大达14节点，且具备扩展至更大系统的能力。

提出的方法

• 将实数功率方程嵌入复数空间，从具有已知解的起始系统追踪解至目标系统。
• 使用总次数同伦与多面体同伦构建同伦路径，其中后者显著降低计算成本。
• $γ$-技巧确保所有解路径行为良好且非奇异，从而无需对分岔进行特殊处理。
• 该方法基于Bernstein-Khovanskii-Kushnirenko（BKK）定理，其中孤立解的数量由牛顿多面体的混合体积界定。
• 采用先进的数值求解器如PHCpack与HOM4PS2，利用MixedVol算法高效计算BKK上界。
• 该方法天然具备可并行性，可高效分布于多处理器上执行路径追踪计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种同伦延续方法，确保在不因分岔或收敛问题而遗漏的情况下找到功率方程的所有解？
• RQ2 与传统延续法及牛顿-拉夫森法相比，NPHC方法在定位多个功率方程解时的效率与准确性如何？
• RQ3 NPHC方法在多大程度上可扩展至更大规模的电力系统？需要何种计算策略以将该方法扩展至14节点以上的系统？
• RQ4 NPHC方法能否用于系统性地计算直接暂态稳定分析所需的最近不稳定平衡点（CUEPs）？
• RQ5 混合体积与牛顿多面体在估计和计算功率方程中孤立解的确切数量方面起什么作用？

主要发现

• NPHC方法成功定位了标准测试系统中最多14节点系统的全部解，证明其在实际电力系统规模下的适用能力。
• 与总次数同伦相比，多面体同伦显著降低了计算成本，使方法更具可扩展性。
• 由于 $γ$-技巧的引入，该方法在数学上保证找到所有解，确保路径行为良好且避免因分岔导致的失败。
• 通过混合体积计算的BKK上界提供了孤立解数量的精确上界，该结论在数值实验中得到验证。
• 该方法天然具备可并行性，可高效地将路径追踪计算分布于多处理器上。
• 解的一般形式仅依赖于系统参数，为未来在参数稳定性分析与鲁棒性评估中的应用奠定了基础。