[论文解读] Numerical study of the transverse stability of NLS soliton solutions in several classes of NLS type equations

K. Roidot, Norbert J. Mauser|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2014

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 43被引用 7

一句话总结

本文使用高精度谱方法和傅里叶分析，数值研究了在一维立方非线性薛定谔（NLS）孤子在高维扰动下的横向稳定性。研究发现，在双曲型2D NLS和DS II方程中，孤子在局域扰动下不稳定，且通过色散机制失稳；而在DS II方程中，孤子在局域扰动下保持轨道稳定，但在所有研究模型中，周期性扰动下均表现出不稳定性。

ABSTRACT

Dispersive PDEs are important both in applications (wave phenomena e.g. in hy- drodynamics, nonlinear optics, plasma physics, Bose-Einstein condensates,...) and a mathematically very challenging class of partial differential equations, especially in the time dependent case. An important point with respect to applications is the stability of exact solutions like solitons. Whereas the linear or spectral stability can be addressed analytically in some situations, the proof of full nonlinear (in-)stability remains mostly an open question. In this paper, we numerically investi- gate the transverse (in-)stability of the solitonic solution to the one-dimensional cubic NLS equation, the well known isolated soliton, under the time evolution of several higher dimensional models, being admissible as a tranverse perturbation of the 1d cubic NLS. One of the recent work in this context [42] allowed to prove the instability of the soliton, under the flow of the classical (elliptic) 2d cubic NLS equation, for both localized or periodic perturbations. The characteristics of this instability stay however unknown. Is there a blow-up, dispersion..? We first illustrate how this instability occurs for the elliptic 2d cubic NLS equation and then show that the elliptic-elliptic Davey Stewartson system (a (2+1)-dimensional generalization of the cubic NLS equation) behaves as the former in this context. Then we investigate hyperbolic variants of the above models, for which no theory in this context is available. Namely we consider the hyperbolic 2d cubic NLS equation and the Davey-Stewartson II equations. For localized perturbations, the isolated soliton appears to be unstable for the former case, but seems to be orbitally stable for the latter. For periodic perturbations the soliton is found to be unstable for all transversally perturbed models considered.

研究动机与目标

• 研究一维立方NLS孤子在高维模型中时间演化下的非线性横向稳定性。
• 在缺乏解析理论的情况下，确定2D椭圆型NLS及相关系统中的不稳定性是否通过爆破或色散发生。
• 比较椭圆型与双曲型NLS类方程中，孤子在局域与周期性横向扰动下的行为差异。
• 评估在无解析结果的双曲型DS II方程中，孤子的轨道稳定性。
• 通过傅里叶系数衰减与能量守恒检验验证数值精度。

提出的方法

• 使用四阶时间积分格式对具有高空间分辨率的色散PDE进行数值时间积分。
• 采用谱方法与傅里叶谱离散化，以确保精度和分辨率超越典型绘图精度。
• 利用傅里叶系数渐近行为检测潜在奇点形成与爆破行为。
• 通过能量守恒检验作为解精度与稳定性的数值指标。
• 使用初始数据形式 $ u(x,y,0) = u_I(x) + \text{perturbation} $，比较局域与周期性横向扰动下的解演化。
• 通过分析 $ L_∞ $-范数与傅里叶系数衰减，评估长时间行为与稳定性特征。

实验结果

研究问题

• RQ1 一维立方NLS孤子在二维椭圆型立方NLS方程中，是否在横向扰动下保持稳定？
• RQ2 二维椭圆型NLS中的不稳定性本质是什么？是否导致爆破或色散？
• RQ3 与椭圆型方程相比，孤子在双曲型NLS类方程中的横向稳定性有何不同？
• RQ4 在双曲型DS II方程中，孤子在局域扰动下是否具有轨道稳定性？
• RQ5 周期性横向扰动如何影响所有所考虑模型中孤子的稳定性？

主要发现

• 在二维椭圆型立方NLS中，局域扰动导致 $ L_∞ $-范数在单个空间点处发生有限时间爆破，表现为不稳定性。
• 在二维椭圆型NLS中，周期性扰动导致多个爆破点，与文献[42]中观察到的不稳定性一致。
• 椭圆-椭圆型Davey-Stewartson系统表现出与二维椭圆型NLS相同的不稳定性特征，即在局域与周期性扰动下均发生爆破。
• 在双曲型二维立方NLS中，孤子在局域与周期性扰动下均不稳定，且不稳定性通过解的色散机制发生。
• 对于DS II方程，孤子在局域扰动下保持鲁棒性，扰动向外扩散，孤子的形状、振幅与速度均得以保持——表明其具有轨道稳定性。
• 在周期性扰动下，DS II方程同样导致不稳定性，表现为 $ L_∞ $-范数增加，傅里叶系数衰减至 $ 10^{-12} $，表明相干性丧失。