[论文解读] Observability of Baouendi-Grushin-Type Equations Through Resolvent Estimates

Cyril Letrouit, Chenmin Sun|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2020

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 28被引用 13

一句话总结

本文为巴乌迪-格鲁辛算子 $\Delta_\gamma = \partial_x^2 + |x|^{2\gamma}\partial_y^2$（其中 $\gamma \geq 1$）建立了精确的预解估计，证明了薛定谔型方程 $i\partial_t u - (-\Delta_\gamma)^s u = 0$ 的可观测性在很大程度上取决于比值 $(\gamma+1)/s$：当 $(\gamma+1)/s < 1$ 时，可观测性在任意小的时间内成立；当 $(\gamma+1)/s > 1$ 时，仅在长时间内成立；当 $(\gamma+1)/s = 1$ 时，对所有时间均不成立。关键贡献在于获得了具有速率 $h^{-(\gamma+1)}$ 的多项式预解估计，该估计是最优的，能够精确控制退化方向上的传播行为。

ABSTRACT

In this article, we study the observability (or, equivalently, the controllability) of some subelliptic evolution equations depending on their step. This sheds light on the speed of propagation of these equations, notably in the "degenerated directions" of the subelliptic structure. First, for any $\\gamma\\geq 1$, we establish a resolvent estimate for the Baouendi-Grushin-type operator $\\Delta_\\gamma=\\partial_x^2+|x|^{2\\gamma}\\partial_y^2$, which has step $\\gamma+1$. We then derive consequences for the observability of the Schr\\''odinger type equation $i\\partial_tu-(-\\Delta_\\gamma)^{s}u=0$ where $s\\in N$. We identify three different cases: depending on the value of the ratio $(\\gamma+1)/s$, observability may hold in arbitrarily small time, or only for sufficiently large times, or even fail for any time. As a corollary of our resolvent estimate, we also obtain observability for heat-type equations $\\partial_tu+(-\\Delta_\\gamma)^su=0$ and establish a decay rate for the damped wave equation associated with $\\Delta_{\\gamma}$.

研究动机与目标

• 分析由巴乌迪-格鲁辛算子 $\Delta_\gamma$（其中 $\gamma \geq 1$）驱动的次椭圆演化方程的可观测性性质。
• 理解在退化（竖直 $y$）方向上传播速度如何依赖于阶数 $\gamma+1$ 与 $(-\Delta_\gamma)^s$ 中的幂次 $s$。
• 为 $\Delta_\gamma$ 建立精确的预解估计，以量化拟模态在观测集之外的集中程度。
• 通过基于预解的对偶性，确定薛定谔型与热型方程可观测性的时间依赖性特征。
• 将这些结果推广至阻尼波动方程，推导出解的能量衰减速率。

提出的方法

• 利用微局部与谱技术，推导出形式为 $\|v\|_{L^2} \leq C\left(\|v\|_{L^2(\omega)} + h^{-(\gamma+1)}\| (h^2\Delta_\gamma + 1)v \|_{L^2} \right)$ 的预解估计，适用于 $\gamma \geq 1$。
• 通过对其偶性和希尔伯特唯一性方法，将预解估计应用于薛定谔方程 $i\partial_t u - (-\Delta_\gamma)^s u = 0$。
• 利用预解估计证明，可观测性取决于比值 $r = (\gamma+1)/s$：当 $r < 1$ 时，在任意小的时间内成立；当 $r > 1$ 时，仅在长时间内成立；当 $r = 1$ 时，对所有时间均不成立。
• 利用相同的预解框架，证明了热型方程 $\partial_t u + (-\Delta_\gamma)^s u = 0$ 的可观测性。
• 将预解估计应用于阻尼波动方程 $\partial_t^2 u + \partial_t u + (-\Delta_\gamma)^s u = 0$，推导出能量的多项式衰减速率。
• 通过 Lax-Milgram 定理与紧致性论证证明预解估计，依赖于 $\Delta_\gamma$ 的唯一延拓性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 由 $(-\Delta_\gamma)^s$ 驱动的薛定谔型方程的可观测性如何依赖于比值 $r = (\gamma+1)/s$？
• RQ2 能否为 $\gamma \geq 1$ 的巴乌迪-格鲁辛算子 $\Delta_\gamma$ 建立精确的预解估计？其最优速率为何？
• RQ3 当 $r = 1$ 时，可观测性是否对所有时间都失效？若是，原因是什么？
• RQ4 可为与 $\Delta_\gamma$ 关联的阻尼波动方程的能量推导出何种衰减速率？
• RQ5 观测集 $\omega$（其包含一个水平条带但不包含直线 $\{x=0\}$）的几何结构如何影响可观测性？

主要发现

• 建立了精确的预解估计：对于 $\gamma \geq 1$，有 $\|v\|_{L^2} \leq C\left(\|v\|_{L^2(\omega)} + h^{-(\gamma+1)}\| (h^2\Delta_\gamma + 1)v \|_{L^2} \right)$，该估计是最优的，并且对某一列拟模态达到上界。
• 对于薛定谔方程 $i\partial_t u - (-\Delta_\gamma)^s u = 0$，当 $r = (\gamma+1)/s < 1$ 时，可观测性在任意小的时间内成立；当 $r > 1$ 时，仅在长时间内成立；当 $r = 1$ 时，对所有时间均不成立。
• 预解估计意味着热型方程 $\partial_t u + (-\Delta_\gamma)^s u = 0$ 的可观测性成立，其衰减速率由同一框架导出。
• 阻尼波动方程 $\partial_t^2 u + \partial_t u + (-\Delta_\gamma)^s u = 0$ 展现出多项式能量衰减，衰减速率依赖于 $\gamma$ 与 $s$。
• 证明了预解估计的最优性：存在一列拟模态使该估计达到上界，若采用更优的估计，则与 $r = 1$ 时短时间不可观测性相矛盾。
• 利用 $\Delta_\gamma$ 的唯一延拓性质，证明了对所有 $\lambda \in \mathbb{R}$，有 $i\lambda - \mathcal{A}$ 是单射，从而确保谱包含关系 $i\mathbb{R} \subset \rho(\mathcal{A})$。