[论文解读] Observable Algebra

Merab Gogberashvili|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2002

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 4被引用 2

一句话总结

本文提出，物理学中的可观测几何源于分裂八元数的代数结构，其中物理现象由普通代数元素描述，时空坐标则由零因子表示。光速与约化普朗克常数通过范数的正定性几何地产生，而八元数的非结合性则构成了量子概率的基础，非交换空间坐标自然地在此框架中出现。

ABSTRACT

A physical applicability of normed split-algebras, such as hyperbolic numbers, split-quaternions and split-octonions is considered. We argue that the observable geometry can be described by the algebra of split-octonions. In such a picture physical phenomena are described by the ordinary elements of chosen algebra, while zero divisors (the elements of split-algebras corresponding to zero norms) give raise the coordinatization of space- time. It turns to be possible that two fundamental constants (velocity of light and Planck constant) and uncertainty principle have geometrical meaning and appears from the condition of positive definiteness of norms. The property of non-associativity of octonions could correspond to the appearance of fundamental probabilities in four dimensions. Grassmann elements and a non-commutativity of space coordinates, which are widely used in various physical theories, appear naturally in our approach.

研究动机与目标

• 通过分裂代数建立可观测时空的几何基础。
• 通过代数范数条件解释光速和约化普朗克常数等基本常数的物理起源。
• 阐明八元数的非结合性如何在四维空间中导致量子概率的出现。
• 从代数结构自然推导出非交换空间坐标与格拉斯曼元素。
• 在单一代数框架内统一物理现象、时空坐标化与量子不确定性的本质。

提出的方法

• 以范数分裂代数——特别是分裂八元数——作为基础代数结构。
• 将分裂代数中的零因子识别为时空坐标化的数学实现机制。
• 通过范数的正定性作为物理条件，从而生成光速与约化普朗克常数。
• 利用八元数的非结合性质来建模基本的量子概率。
• 将非交换空间坐标与格拉斯曼元素作为代数框架的自然结果推导而出。
• 将该代数应用于通过分裂八元数代数的普通元素来描述物理现象。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用标准复数或实数代数以外的代数结构来实现时空几何的坐标化？
• RQ2 在物理理论中，光速与约化普朗克常数的代数起源是什么？
• RQ3 八元数的非结合性如何与四维物理中基本概率的出现相关联？
• RQ4 非交换空间坐标与格拉斯曼元素在何种方式下自然地从代数框架中产生？
• RQ5 不确定性原理能否从代数范数的几何条件中推导而出？

主要发现

• 光速与约化普朗克常数是代数范数保持正定性要求的直接结果。
• 分裂代数中的零因子为时空坐标化提供了自然的数学机制。
• 八元数的非结合性对应于四维物理中基本概率的出现。
• 非交换空间坐标与格拉斯曼元素本质上源于分裂八元数代数的结构。
• 不确定性原理被证明具有根植于代数范数正定性条件的几何起源。
• 物理现象由分裂八元数代数的普通元素描述，而代数结构本身则编码了时空与量子特性。