[论文解读] Observable set, observability, interpolation inequality and spectral inequality for the heat equation in $\mathbb{R}^n$

Gengsheng Wang, Ming Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 43被引用 4

一句话总结

本文建立了 $\mathbb{R}^n$ 上热方程的可观测性、插值与谱不等式之间的等价性，证明了可测集 $E \subset \mathbb{R}^n$ 满足这些不等式当且仅当其在某尺度 $L > 0$ 下为 $\gamma$-稠密（$\gamma > 0$）。主要贡献在于通过稠密性条件对可观测集进行了完整刻画，并在全空间热方程背景下确立了基本不等式之间的等价性。

ABSTRACT

This paper studies connections among observable sets, the observability inequality, the Hölder-type interpolation inequality and the spectral inequality for the heat equation in $\mathbb R^n$. We present a characteristic of observable sets for the heat equation. In more detail, we show that a measurable set in $\mathbb{R}^n$ satisfies the observability inequality if and only if it is $γ$-thick at scale $L$ for some $γ>0$ and $L>0$.We also build up the equivalence among the above-mentioned three inequalities. More precisely, we obtain that if a measurable set $E\subset\mathbb{R}^n$ satisfies one of these inequalities, then it satisfies others. Finally, we get some weak observability inequalities and weak interpolation inequalities where observations are made over a ball.

研究动机与目标

• 刻画 $\mathbb{R}^n$ 上热方程可观测集的结构。
• 建立可观测性不等式、Hölder 型插值不等式与谱不等式之间的等价性。
• 通过 $\gamma$-稠密集在尺度 $L$ 下的概念，提供这些不等式成立的充分必要条件。
• 当观测范围限定在 $\mathbb{R}^n$ 中的球内时，推导弱可观测性与插值不等式。

提出的方法

• 引入在尺度 $L$ 下的 $\gamma$-稠密集概念，其定义为：对所有 $x \in \mathbb{R}^n$，有 $|E \cap (x + LQ)| \geq \gamma L^n$，作为可观测性的几何准则。
• 利用傅里叶分析与热核估计，分析热方程解的衰减与传播特性。
• 应用 Young 不等式与 $L^1$-$L^2$ 估计，将时间 $T$ 处解的 $L^2$-范数以球面上观测结果的形式有界。
• 通过假设初始数据在球内且子球内质量为正，利用时间平均估计，推导弱可观测性不等式。
• 以热核表示式 $u(t,x) = (4\pi t)^{-n/2} \int_{\mathbb{R}^n} e^{-|x-y|^2/(4t)} u_0(y) dy$ 为核心工具，推导点态与积分界。
• 通过证明在 $\gamma$-稠密条件下，每一不等式均可推出其余两者，从而确立三者等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 可测集 $E \subset \mathbb{R}^n$ 需满足何种几何条件，才能使热方程的可观测性不等式成立？
• RQ2 在 $\mathbb{R}^n$ 上的热方程背景下，可观测性不等式、Hölder 型插值不等式与谱不等式之间有何关联？
• RQ3 当观测范围被限制在 $\mathbb{R}^n$ 中的球内时，能否建立弱可观测性与插值不等式？
• RQ4 初始数据集中（如在质量为正的球内）在推导弱可观测性估计中起何作用？

主要发现

• 可测集 $E \subset \mathbb{R}^n$ 满足可观测性不等式当且仅当其在某 $\gamma > 0$ 与 $L > 0$ 下为 $\gamma$-稠密，从而对可观测集给出了完整的几何刻画。
• 当观测集满足 $\gamma$-稠密条件时，$\mathbb{R}^n$ 上热方程的可观测性不等式、Hölder 型插值不等式与谱不等式三者等价。
• 对于在球 $B_r$ 上有紧支集且满足 $\int_{B_r} u_0 \geq \mu \int_{\mathbb{R}^n} u_0$ 的初始数据 $u_0$，解满足弱可观测性不等式：$\|u(T,\cdot)\|_{L^2}^2 \leq C \int_0^T \int_{|x| \leq M} |u(t,x)|^2 dx dt$，其中常数 $C$ 依赖于 $n$、$T$、$M$、$r$ 与 $\mu$。
• 弱可观测性不等式中的常数显式有界为 $\frac{2^{n/2 + 1} \pi^{n/2} T^{n/2 - 1}}{V_n M^n \mu^2} e^{4r^2 / T}$，显示出对 $r^2/T$ 的指数依赖性。
• 本文证明了在尺度 $L$ 下的 $\gamma$-稠密性蕴含在尺度 $2L$ 下的 $\gamma$-稠密性，但反之不成立，从而明确了稠密性条件的层级关系。
• 通过热核估计、$L^1$-$L^2$ 估计与时间平均 $L^2$-范数控制的链式估计，确立了三者不等式的等价性。