[论文解读] Obtaining higher-order Galerkin accuracy when the boundary is polygonally approximated

Todd F. Dupont, Johnny Guzmán+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文提出了一种对多边形近似域上求解泊松方程的对称高阶伽辽金方法，通过修正几何误差来恢复标准有限元方法中因边界逼近导致的收敛率下降问题。通过基于真实边界到符号距离的边界层校正，对变分形式进行修改，该方法在保持对称性的同时实现了最优收敛率（例如，二次单元的 $O(h^3)$），克服了以往非对称方法（如 Bramble-Dupont-Thomée 方法）的局限性。

ABSTRACT

We study two techniques for correcting the geometrical error associated with domain approximation by a polygon. The first was introduced some time ago \cite{bramble1972projection} and leads to a nonsymmetric formulation for Poisson's equation. We introduce a new technique that yields a symmetric formulation and has similar performance. We compare both methods on a simple test problem.

研究动机与目标

• 解决在多边形近似光滑域上求解PDE时，标准伽辽金有限元方法收敛率次优的问题。
• 开发一种对称变分格式，以恢复高阶多项式近似（如二次和三次单元）下的最优收敛率。
• 克服现有高阶校正方法中非对称双线性形式的问题，例如 Bramble-Dupont-Thomée 方法。
• 证明可通过涉及符号距离函数和法向导数的边界积分项，校正由域近似引起的几何误差。

提出的方法

• 引入一个对称双线性形式 $M_h(u,v)$，通过添加涉及符号距离 $\delta$ 和法向导数的边界项，对标准伽辽金格式进行修正。
• 校正项包含 $\int_{\partial\Omega_h} \left(\gamma \frac{\delta}{h} - 1\right) \left( \delta \frac{\partial u}{\partial n} \frac{\partial v}{\partial n} + \frac{\partial u}{\partial n} v + \frac{\partial v}{\partial n} u \right) ds$，以确保一致性和对称性。
• 利用解在边界附近的泰勒展开推导校正项，以反映多边形边界与真实边界之间的差异。
• 将该方法应用于具有狄利克雷边界条件的泊松方程，采用同时包含体积分和边界积分的变分格式。
• 在变分形式中采用一种罗宾型边界条件，稳定参数 $\gamma$ 的选择确保了稳定性与最优收敛性。
• 在具有曲线边界的光滑域上进行数值验证，使用多边形近似边界，与标准方法及非对称校正方法进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一种对称变分格式，以在域被多边形近似时恢复伽辽金方法中的最优收敛率？
• RQ2 何种结构的边界校正项能够在保持对称性的同时实现高阶精度？
• RQ3 与标准方法或非对称方法相比，使用对称高阶校正方法时，误差分布如何变化？
• RQ4 与标准 Nitsche 型方法相比，使用符号距离函数 $\delta$ 在多大程度上提升了收敛性？

主要发现

• 所提出的对称方法 $M_h$ 在 $H^1$-范数下对分片二次有限元实现了最优的 $O(h^3)$ 收敛率，即使在多边形边界近似下也能恢复最优收敛阶。
• 数值实验表明，该对称方法的收敛率与非对称的 Bramble-Dupont-Thomée 方法相当，$L^2$ 误差在 $k=2$ 时以 $O(h^3)$ 递减，在 $k=3$ 时以 $O(h^4)$ 递减。
• 对称方法的误差分布集中在边界附近，而内部误差趋于零，表明有效抑制了污染效应。
• 在环形域测试用例中，当 $h_{\text{max}} = 0.036$ 且 $k=2$ 时，$L^2$ 误差达到 $1.54 \times 10^{-5}$，证实了最优收敛性。
• 该方法在保持稳定性和对称性的同时，通过引入 $\delta^\ell \partial^n u / \partial n^n$ 项实现更高阶校正，从而实现更高阶精度。
• 对称格式避免了非对称系统带来的计算劣势，使其更适合迭代求解器及大规模模拟。