[论文解读] On 2d TQFTs whose values are holomorphic symplectic varieties

Gregory W. Moore, Yuji Tachikawa|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 41被引用 21

一句话总结

该论文提出了一种二维拓扑量子场论（TQFT）函子 η_{G_ℂ}，其从2- bordisms 映射到具有哈密顿 G_ℂ 作用的全纯辛流形，其中边界的粘合对应于全息辛商。关键贡献在于一种基于物理动机的、推测性的此类TQFT构造，通过带有极点的黎曼曲面上的S类理论，将6D N=(2,0)理论与全息辛几何联系起来。

ABSTRACT

For simple and simply-connected complex algebraic group G, we conjecture the existence of a functor eta_G from the category of 2-bordisms to the category of holomorphic symplectic varieties with Hamiltonian action, such that gluing of boundaries corresponds to the holomorphic symplectic quotient with respect to the diagonal action of G. We describe various properties of eta_G obtained via string-theoretic analysis. Mathematicians are urged to construct eta_G rigorously.

研究动机与目标

• 推测存在一个从2-bordisms 到具有哈密顿 G_ℂ 作用的全息辛流形的二维TQFT函子 η_{G_ℂ}。
• 确立TQFT中边界的粘合对应于对角 G_ℂ 作用下的全息辛商。
• 在全息辛流形的范畴中，对带有极点的黎曼曲面上S类理论的最大维数Higgs分支给出一个数学上精确的表述。
• 激励数学家严格构造所需的全息辛流形，并验证其分解与对称性性质。

提出的方法

• 对6D N=(2,0)理论在具有codimension-two缺陷的黎曼曲面上紧化的弦论分析。
• 通过部分拓扑扭转与Kaluza-Klein约化构造4D N=2理论 S_G(C,D)，其仅依赖于曲面 C 的共形结构。
• 将 S_G(C,D) 的最大维数Higgs分支识别为在 G_ℂ 作用下不变的全息辛流形。
• 通过继承自母体6D理论的分解性质来表述TQFT，其中粘合对应于辛商。
• 使用超凯勒几何作为相关但略有不同的目标范畴，其中商在度量缩放下发生变化。
• 建议一种涉及拉格朗日子簇和域墙的扩展TQFT结构，并在 G 的自同构群作用下进行等变推广。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个二维TQFT，它将具有哈密顿 G_ℂ 作用的2-流形映射到全息辛流形，使得粘合对应于全息辛商？
• RQ2 能否在全息辛流形的范畴中，将带有极点的黎曼曲面上S类理论的最大维数Higgs分支严格表述为TQFT？
• RQ3 6D N=(2,0)理论的分解性质如何传递到Higgs分支上的二维TQFT结构？
• RQ4 面积参数在将TQFT扩展到超凯勒几何中的精确作用是什么？a→0 极限下如何恢复完整对称性？
• RQ5 TQFT能否扩展为包含拉格朗日子簇和域墙的0-1-2-3维扩展TQFT？

主要发现

• 在带有极点的黎曼曲面 C 上，理论 S_G(C,D) 的最大维数Higgs分支是一个全息辛流形，其继承自母体6D理论的分解性质。
• 沿具有相同 ρ-同态的极点粘合两个曲面，对应于对角 G_ℂ 作用下的全息辛商。
• 推测TQFT函子 η_{G_ℂ} 将2-bordisms 映射到全息辛流形，其复合由辛约化给出。
• 在 A_1 情况下，对任意 a，有 η_{A_1}(W,a) 同构于 ℂ²⊗ℂ²⊗ℂ² 作为全息辛流形，且在 a→0 极限下具有平坦的超凯勒度量。
• 超凯勒商 T^*G_ℂ^a × T^*G_ℂ^{a'}//G 同构于 T^*G_ℂ^{a+a'}，表明度量缩放影响商的结构。
• TQFT结构暗示可自然地扩展为涉及拉格朗日子簇和域墙的3-范畴扩展TQFT，出现在S类理论中。