[论文解读] On A Class of Finsler Metrics of Einstein-Reversibility

Guojun Yang|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2013

Advanced Differential Geometry Research参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文引入了Finsler度量的爱因斯坦可逆性概念，证明了$p$-次幂$(\alpha,\beta)$-度量是爱因斯坦可逆的，当且仅当它们是爱因斯坦度量。结果表明，除Randers度量（$p=1$）、平方度量（$p=2$）和二维平方根度量（$p=1/2$）外，所有此类度量均为里奇平坦-平行。对于二维平方根度量中为爱因斯坦度量的情形，其局部结构几乎完全由涉及标量函数$u$、$v$和$B$的偏微分方程组决定，旗曲率可显式表达。

ABSTRACT

In this paper, we introduce the notion of Einstein-reversibility for Finsler met- rics. We study a class of p-power Finsler metrics determined by a Riemann metric and 1-form which are of Einstein-reversibility. It shows that such a class of Finsler metrics of Einstein-reversibility are always Einstein metrics. In particular, we show that all p-power metrics but Randers metrics, square metrics and 2-dimensional square-root metrics, are always Ricci-flat-parallel. Further, the local structure is almost determined for 2-dimensional square-root metrics which are Einsteinian (equivalently, of isotropic flag curvature), and examples show such metrics are not necessarily Ricci-flat.

研究动机与目标

• 定义并研究Finsler几何中的爱因斯坦可逆性，其中爱因斯坦标量$\lambda(x,y)$满足$\lambda(x,y) = \lambda(x,-y)$。
• 研究形如$F = \alpha(1 + \beta/\alpha)^p$的$p$-次幂$(\alpha,\beta)$-度量的爱因斯坦可逆性及其几何意义。
• 确定二维平方根度量（$p=1/2$）为爱因斯坦度量时的局部结构，即具有各向同性旗曲率的度量。
• 刻画此类度量为里奇平坦-平行的条件，并阐明$\beta$为闭形式或平行形式的作用。

提出的方法

• 通过标量$\lambda(x,y)$引入爱因斯坦可逆性的概念，定义为$Ric(x,y) = (n-1)\lambda(x,y)F^2$，并要求$\lambda(x,y) = \lambda(x,-y)$。
• 分析$p \neq 0$的$p$-次幂$(\alpha,\beta)$-度量$F = \alpha(1 + \beta/\alpha)^p$，其中$\alpha$为黎曼度量，$\beta$为1-形式。
• 利用爱因斯坦可逆性条件，推导控制$\alpha$与$\beta$结构的微分方程，特别关注$p=1,2,1/2$的情形。
• 应用Killing形式理论与复分析函数方法，对二维情形的$\widetilde{\beta}$与$\alpha$进行参数化，将问题转化为求解偏微分方程组。
• 利用可积性条件$\sigma_{12} = \sigma_{21}$，推导出旗曲率$\mathbf{K}$关于$B = \|\beta\|_\alpha^2$、$u$、$v$和$\sigma$的显式表达式。
• 通过代入曲率方程验证爱因斯坦条件成立，证明在所导出的PDE约束下，结果表达式恒为零。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时$p$-次幂$(\alpha,\beta)$-度量为爱因斯坦可逆？这与它为爱因斯坦度量有何关系？
• RQ2 对于哪些$p$值，$p$-次幂$(\alpha,\beta)$-度量为里奇平坦-平行？$\beta$为闭或平行形式在其中起什么作用？
• RQ3 二维平方根度量（$p=1/2$）为爱因斯坦度量时，其局部结构如何？如何对其进行参数化？
• RQ4 此类二维度量的旗曲率如何依赖于函数$u$、$v$和$B$？
• RQ5 爱因斯坦标量$\lambda(x,y)$在何种条件下可逆？这与里奇或测地线可逆性有何不同？

主要发现

• 对于$p$-次幂$(\alpha,\beta)$-度量，其为爱因斯坦可逆的充要条件是其为爱因斯坦度量，从而在该类度量中建立了强等价关系。
• 除$p=1$（Randers）、$p=2$（平方）及二维情形下$p=1/2$（平方根）外，所有具有爱因斯坦可逆性的$p$-次幂度量均为里奇平坦-平行，即$\alpha$为里奇平坦且$\beta$关于$\alpha$平行。
• 对于二维平方根度量中为爱因斯坦度量的情形，其局部结构几乎完全由满足$u_1 = v_2$、$u_2 = -v_1$及$uB_1 + vB_2 = 0$的标量函数$u(x), v(x), B(x)$决定，且$\alpha$与$\beta$可由$B, u, v$表示。
• 此类二维度量的旗曲率$\mathbf{K}$由公式$\mathbf{K} = \frac{(B-4)^2 (uB_2 - vB_1)^2}{64B\sqrt{1-B}}$给出，明确显示出对$B$的导数及函数$u,v$的依赖关系。
• 爱因斯坦标量$\lambda(x,y)$可逆当且仅当$\lambda(x,y) = \lambda(x,-y)$，且该条件在$p$-次幂类中等价于度量为爱因斯坦度量。
• 在PDE系统(3)下，局部参数化$\alpha = \frac{\sqrt{B}}{(1-B)^{3/4}} \frac{\sqrt{(y^1)^2 + (y^2)^2}}{\sqrt{u^2 + v^2}}$，$\beta = \frac{B}{(1-B)^{3/4}} \frac{uy^1 + vy^2}{u^2 + v^2}$成立，且旗曲率为各向同性。