[论文解读] On a Class of Two-Dimensional Singular Douglas and Projectively flat Finsler Metrics

Guojun Yang|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2013

Advanced Differential Geometry Research参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文表征了二维奇异 $(\alpha,\beta)$-度量中为 Douglas 度量或局部射影平坦的度量，表明其必须具有形式 $F = c\beta + \beta^m\alpha^{1-m}$，其中 $c, m$ 为常数。本文证明了 Kropina 度量（$m = -1$）总是 Douglas 度量，且当 $m \neq -1$ 时，Douglas $m$-Kropina 度量为局部 Minkowski 度量，突显了其与高维情形的关键差异。

ABSTRACT

Singular Finsler metrics, such as Kropina metrics and $m$-Kropina metrics, have a lot of applications in the real world. In this paper, we study a class of two-dimensional singular Finsler metrics defined by a Riemann metric $α$ and 1-form $β$, and we characterize those which are Douglasian or locally projectively flat by some equations. It shows that the main class induced is an $m$-Kropina metric plus a linear part on $β$. For this class, the local structure of Douglasian or (in part) projectively flat case is determined, and in particular we show that a Kropina metric is always Douglasian and a Douglas $m$-Kropina metric with $m e -1$ is locally Minkowskian. It indicates that the two-dimensional case is quite different from the higher dimensional ones.

研究动机与目标

• 表征形式为 $F = \alpha\phi(\beta/\alpha)$ 的二维奇异 Finsler 度量，其为 Douglas 度量或局部射影平坦度量。
• 在条件 $\phi(s) = cs + s^m\varphi(s)$，$\varphi(0) = 1$，$m \neq 0,1$ 下，确定此类度量的局部结构。
• 阐明二维情形与高维情形在 Douglas 度量与射影平坦度量分类中的区别。
• 确立 $m$-Kropina 度量总是 Douglas 度量，且当 $m \neq -1$ 时，Douglas $m$-Kropina 度量为局部 Minkowski 度量。

提出的方法

• 本文采用 $(\alpha,\beta)$-度量框架，其中 $F = \alpha\phi(s)$，$s = \beta/\alpha$，且 $\phi(s)$ 满足 $\phi(s) = cs + s^m\varphi(s)$，$\varphi(0) = 1$，$m \neq 0,1$，以定义奇异 Finsler 度量。
• 应用变形 $\widetilde{\alpha} = b^m\alpha$，$\widetilde{\beta} = b^{m-1}\beta$ 以保持 $m$-Kropina 度量的形式并简化分析。
• 分类依赖于求解 Douglas 曲率条件 $\mathbf{D} = 0$ 以及通过 $K$-曲率消失（$K_{12} = 0$）实现的射影平坦性条件，在二维情形下进行。
• 分析利用 $\alpha$ 的喷射方程与条件 $db \neq 0$ 推导出射影平坦性的必要与充分条件。
• 应用 $K$-曲率张量及其与旗曲率的关系以检验射影平坦性，利用 $K_{12} = 0$ 作为二维情形下必要且充分的条件。
• 通过特定选择 $\alpha$ 与 $\beta$ 构造实例，以验证推导出的条件，包括 $F = c\beta + \alpha^2/\beta$ 与 $F = c\beta + \alpha^4/\beta^3$ 的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于满足 $\phi(s) = cs + s^m\varphi(s)$ 的二维奇异 $(\alpha,\beta)$-度量 $F = \alpha\phi(\beta/\alpha)$，其为 Douglas 度量或局部射影平坦度量的必要与充分条件是什么？
• RQ2 此类度量在二维情形下的局部结构与高维情形有何不同？
• RQ3 $m$-Kropina 度量是否总是 Douglas 度量？在何种条件下其为局部射影平坦度量？
• RQ4 变形 $\widetilde{\alpha} = b^m\alpha$，$\widetilde{\beta} = b^{m-1}\beta$ 在简化射影平坦度量分类中起什么作用？
• RQ5 形式为 $F = c\beta + \alpha^2/\beta$ 或 $F = c\beta + \alpha^4/\beta^3$ 的度量是否可能为局部射影平坦度量？何种条件可确保这一点？

主要发现

• 在给定条件下，所有二维 Douglas 度量或局部射影平坦奇异 $(\alpha,\beta)$-度量必须具有形式 $F = c\beta + \beta^m\alpha^{1-m}$，其中 $c$ 与 $m$ 为常数。
• Kropina 度量（$m = -1$）总是 Douglas 度量，无论底层的 $\alpha$ 与 $\beta$ 如何。
• 当 $m \neq -1$ 时，Douglas $m$-Kropina 度量为局部 Minkowski 度量，表明存在强烈的结构限制。
• 对于 $F = c\beta + \alpha^2/\beta$，该度量为局部射影平坦度量当且仅当 $c\eta''' = 0$，其中 $\eta$ 是 $x^2$ 的函数。
• 对于 $F = c\beta + \alpha^4/\beta^3$，该度量为 Douglas 度量但非局部射影平坦度量，若 $K_{12} \neq 0$，如例 8.4 所示。
• 在二维情形下，$K$-曲率消失（$K_{12} = 0$）当且仅当度量为局部射影平坦度量，这为验证提供了关键判据。