[论文解读] On a Dimension Formula for Twisted Spherical Conjugacy Classes in Semisimple Algebraic Groups

Jiang-Hua Lu|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文建立了在代数闭域上特征为零的连通半单代数群中，$\theta$-扭球面共轭类的维数公式，推广了此前对未扭情况的结果。该公式通过 $\dim C = l(m_C) + \operatorname{rk}(1 - m_C\theta)$ 表达，其中 $m_C$ 是索引 $C$ 中稠密 $B$-轨道的唯一 Weyl 群元素，并在 $G$ 为单群且 $\theta$ 为外自同构时，对相关 Weyl 群元素进行了分类。

ABSTRACT

Let $G$ be a connected semisimple algebraic group over an algebraically closed field of characteristic zero, and let $þ$ be an automorphism of $G$. We give a characterization of $þ$-twisted spherical conjugacy classes in $G$ by a formula for their dimensions in terms of certain elements in the Weyl group of $G$, generalizing a result of N. Cantarini, G. Carnovale, and M. Costantini when $þ$ is the identity automorphism. For $G$ simple and $þ$ an outer automorphism of $G$, we also classify the Weyl group elements that appear in the dimension formula.

研究动机与目标

• 将球面共轭类的维数公式从未扭（$\theta = \mathrm{Id}$）情形推广至 $\theta$-扭共轭类。
• 通过 Weyl 群元素 $m_C$ 和自同构 $\theta$ 对 $\theta$-扭球面共轭类进行表征。
• 当 $G$ 为单群且 $\theta$ 为外自同构时，对来自 $\theta$-扭共轭类的 Weyl 群元素 $m_C$ 的集合 $\widetilde{\mathcal{M}}_\theta$ 进行分类。
• 证明当 $\theta$ 为外自同构时，有 $\widetilde{\mathcal{M}}_\theta = \mathcal{M}_\theta$，其中 $\mathcal{M}_\theta$ 是 $W$ 中 $\theta$-扭共轭类内最大长度元素的集合。

提出的方法

• 本文使用 $\theta$-扭共轭作用 $g_1 \cdot_\theta g = g_1 g \theta(g_1)^{-1}$ 定义 $G$ 中的 $\theta$-扭共轭类，其中 $B$-球面类由存在稠密 $B$-轨道来定义。
• 引入 $m_C \in W$ 为唯一 Weyl 群元素，使得 $C \cap (B m_C B)$ 在 $C$ 中稠密，从而将 $C$ 的几何性质与 $W$ 中的组合结构联系起来。
• 通过直接计算与表示论论证，推导出关键公式 $\dim C = l(m_C) + \operatorname{rk}(1 - m_C\theta)$，该公式推广了 $\theta = \mathrm{Id}$ 时的先前结果。
• 对于外自同构 $\theta$，本文利用 $\theta$ 在 Dynkin 图上的作用以及 $W$ 中 $\theta$-扭共轭类的结构，结合 [3] 和 [9] 的结果，对 $\mathcal{M}_\theta$ 进行分类。
• 利用根系数据，包括正根的 $\theta$-轨道以及最长元素 $w_0$ 分解为反射乘积的形式，分析稳定子与轨道维数。
• 在非球面情形下，通过单参数子群与 $\theta$-等变性，显式构造 $B w_0 B \cap B_- \cap C_h$ 中的元素，完成 $m_C = w_0$ 的证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 在半单代数群中，什么条件下 $\theta$-扭共轭类是球面的，其代数表征为何？
• RQ2 如何用 Weyl 群元素与自同构 $\theta$ 精确表达 $\theta$-扭球面共轭类的维数公式？
• RQ3 当 $G$ 为单群且 $\theta$ 为外自同构时，哪些 Weyl 群元素 $m_C$ 作为 $B$-轨道的索引出现在 $\theta$-扭共轭类中？
• RQ4 $\widetilde{\mathcal{M}}_\theta$ 中此类 $m_C$ 元素的集合是否与 $\theta$-扭 $W$-共轭类中最大长度元素的集合 $\mathcal{M}_\theta$ 一致？
• RQ5 $\theta$-扭共轭类的维数如何限制 $m_C$ 的可能取值？

主要发现

• 在 $G$ 中，$\theta$-扭共轭类 $C$ 是球面的，当且仅当 $\dim C = l(m_C) + \operatorname{rk}(1 - m_C\theta)$，其中 $m_C$ 是索引 $C$ 中稠密 $B$-轨道的 Weyl 群元素。
• 当 $G = D_4$ 且 $\theta$ 为阶为 3 的外自同构时，集合 $\mathcal{M}_\theta$ 恰好包含两个元素，从而在该情形下完成了完整分类。
• 当 $\theta$ 在 Dynkin 图上诱导阶为 2 的自同构时，集合 $\mathcal{M}_\theta$ 与 Springer 在 [9, 表 2] 中给出的元素列表一致。
• 当 $G = D_4$ 且 $\theta$ 阶为 3 时，通过 $h \in H$ 的 $\theta$-扭共轭类 $C_h$ 的维数为 14，若 $h^{\alpha_2} = h^{\alpha_1}h^{\alpha_3}h^{\alpha_4} = 1$；否则维数至少为 20。
• 当 $h^{\alpha_2} = h^{\alpha_1}h^{\alpha_3}h^{\alpha_4} = 1$ 时，Weyl 群元素为 $m_{C_h} = w_0 s_2$，且该类为球面类。
• 当 $h^{\alpha_2} \neq 1$ 或 $h^{\alpha_1}h^{\alpha_3}h^{\alpha_4} \neq 1$ 时，Weyl 群元素为 $m_{C_h} = w_0$，且由于维数 $\geq 20$，该类不是球面类。