[论文解读] On a family of homogeneous dispersive equations admitting integrable members

Priscila Leal da Silva, Igor Leite Freire+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2016

Nonlinear Waves and Solitons被引用 1

一句话总结

本文研究了一类包含两个任意参数的齐次非线性色散方程族，建立了确保平方可积解存在的守恒律。通过Lax对和一种Miura型变换，识别出其中一员为完全可积方程，该方程与KdV方程相关联，从而可从已知的KdV方程解构造出扭结解和峰子解。

ABSTRACT

We consider a family of homogeneous nonlinear dispersive equations with two arbitrary parameters. Conservation laws are established from the point symmetries and imply that the whole family admits square integrable solutions. Recursion operators are found to two members of the family investigated. For one of them, a Lax pair is also obtained, proving its complete integrability. From the Lax pair we construct a Miura-type transformation relating the original equation to the KdV equation. This transformation, on the other hand, enables us to obtain solutions of the equation from the kernel of a Schrodinger operator with potential parametrized by the solutions of the KdV equation. In particular, this allows us to exhibit a kink solution to the completely integrable equation from the 1-soliton solution of the KdV equation. Finally, peakon-type solutions are also found for a certain choice of the parameters, although for this particular case the equation is reduced to a homogeneous second order nonlinear evolution equation.

研究动机与目标

• 研究一类包含两个任意参数的齐次非线性色散方程族，确定其在何种条件下存在可积成员。
• 通过点对称性建立守恒律，确保整个方程族中平方可积解的存在性。
• 识别出特定参数选择，使方程实现完全可积，特别是通过构造递归算子和Lax对。
• 推导一种Miura型变换，将一个可积成员与KdV方程联系起来，实现解从KdV方程到新方程的转移。
• 在特定参数选择下，探讨特殊解（如扭结解和峰子解）的存在性与结构。

提出的方法

• 利用方程的点对称性推导守恒律，证明整个方程族中平方可积解的存在性。
• 为该方程族中的两个成员构造递归算子，以探索其可积性结构。
• 针对一个可积成员，推导Lax对，通过零曲率条件确认其完全可积性。
• 建立一种Miura型变换，将KdV方程的解映射到新方程的解，利用Lax对结构。
• 利用Miura变换从KdV方程的1孤子解出发，生成新解，包括扭结解。
• 在特定参数选择下分析方程，将其约化为二阶非线性演化方程，以寻找峰子型解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在两个任意参数满足何种条件时，该色散方程族会存在可积成员？
• RQ2 点对称性如何导出守恒律，从而确保整个方程族中平方可积解的存在？
• RQ3 能否为该方程族的任意成员构造Lax对？这对其完全可积性意味着什么？
• RQ4 连接新方程与KdV方程的Miura型变换具有何种性质？它如何促进解的生成？
• RQ5 在特定参数值下，峰子型解是否存在？它们如何从约化后的二阶方程中导出？

主要发现

• 由于从点对称性导出的守恒律，整个方程族均存在平方可积解。
• 其中一个成员是完全可积的，这由Lax对的存在性所证实。
• 构造了一种Miura型变换，将新方程的解与KdV方程的解联系起来。
• 通过Miura变换，明确地从KdV方程的1孤子解获得了可积方程的扭结解。
• 在特定参数选择下，方程约化为齐次二阶非线性演化方程，可容纳峰子型解。
• 峰子型解源于约化后的方程结构，表明在特定参数设置下存在一类独特的解。