[论文解读] On a linear stability issue of split form schemes for compressible flows

Vikram Singh, Praveen Chandrashekar|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2021

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文识别出在可压缩流体的分裂格式间断伽辽金格式中存在线性稳定性问题，其中标准的动能保持（KEP）格式在线性化分析中无法保持扰动能量。通过将能量通量调整为与连续能量扰动方程一致，作者提出了一种改进的KEP格式，确保能量守恒与稳定性，该方法通过节点DG方法的数值测试得到验证。

ABSTRACT

Split form schemes for Euler and Navier-Stokes equations are useful for computation of turbulent flows due to their better robustness. This is because they satisfy additional conservation properties of the governing equations like kinetic energy preservation leading to a reduction in aliasing errors at high orders. Recently, linear stability issues have been pointed out for these schemes for a density wave problem and we investigate this behaviour for some standard split forms. By deriving linearized equations of split form schemes, we show that most existing schemes do not satisfy a perturbation energy equation that holds at the continuous level. A simple modification to the energy flux of some existing schemes is shown to yield a scheme that is consistent with the energy perturbation equation. Numerical tests are given using a discontinuous Galerkin method to demonstrate these results.

研究动机与目标

• 研究可压缩欧拉方程分裂格式的线性稳定性，特别是关于扰动能量守恒的问题。
• 识别为何现有的动能保持（KEP）格式在密度波问题中表现出不稳定性，尽管其理论上具有鲁棒性。
• 推导一种与连续PDE线性化能量扰动方程一致的改进KEP通量。
• 通过节点间断伽辽金（DG）方法的数值实验，验证改进后的稳定性和守恒特性。

提出的方法

• 围绕恒定密度波解对可压缩欧拉方程进行线性化，推导连续扰动能量方程。
• 利用高斯-洛巴托-勒让德网格上的节点DG方法，推导包括中心、KG和KEP通量在内的各种分裂格式的线性化半离散方程。
• 分析每种格式中扰动的能量演化，识别其与连续能量方程的不一致，特别是扰动能量不守恒的问题。
• 通过调整能量通量，使其在离散层面满足能量扰动方程，从而提出一种改进的KEP通量，确保能量守恒。
• 在节点DG框架中实现改进格式，并与标准分裂格式对比其稳定性和守恒特性。
• 通过密度波问题的数值测试，评估特征值稳定性与随时间的能量演化。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何即使具备动能保持特性的分裂格式，在密度波问题中仍表现出线性不稳定性？
• RQ2 现有分裂格式中，连续与离散能量扰动方程之间存在何种差异？
• RQ3 能否构造一种改进的KEP通量，以确保线性化系统中扰动能量的守恒？
• RQ4 改进后的格式在使用节点DG方法的数值模拟中是否保持稳定性和守恒特性？
• RQ5 与标准分裂格式相比，改进的KEP格式在特征值稳定性和能量演化方面表现如何？

主要发现

• 标准分裂格式，包括KEP和KG通量，在线性化系统中无法守恒扰动能量，导致不稳定性，尽管其保持了动能。
• 中心格式同样无法守恒简化后的扰动能量，表明能量守恒并非标准配点DG格式的固有特性。
• 所提出的改进KEP通量确保了离散扰动能量的守恒，因为线性化系统中总能量演化恒为零。
• 数值测试表明，改进格式表现出稳定的特征值，并避免了扰动的非物理增长，而标准KEP和KG格式则未实现这一点。
• 改进格式正确捕捉了密度扰动的对流输运，无非物理累积，与连续方程一致。
• 改进的KEP通量恢复了与连续能量原理的一致性，解决了密度波问题中的线性稳定性问题。