[论文解读] On a maximum of nearest-neighbor random walk with asymptotically zero drift on lattice of positive half line

Hongyan Sun, Huaming Wang|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2020

Probability and Risk Models参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文研究在正半线上具有渐近零漂移的最近邻随机游走的最大值 $ M $ 的渐近分布，特别分析了通过Lamperti型漂移建模的转移概率扰动如何影响 $ M $ 的尾部行为。关键结果刻画了当 $ n \to \infty $ 时 $ P(M=n, D<\infty) $ 的衰减速率，显示其介于多项式与指数衰减之间，包括对数迭代形式如 $ (n \log n \cdots \log_{K-1}n)^{-1} $，具体取决于参数 $ K $ 和 $ B $。

ABSTRACT

Consider a nearest-neighbor random walk with certain asymptotically zero drift on the positive half line. Let $M$ be the maximum of an excursion starting from $1$ and ending at $0.$ We study the distribution of $M$ and characterize its asymptotics, which is quite different from those of simple random walks.

研究动机与目标

• 理解从 1 出发并在 0 处吸收的 $ \mathbb{Z}^+ $ 上最近邻随机游走的最大值 $ M $ 的分布。
• 研究渐近零漂移（特别是Lamperti型扰动）如何改变 $ M $ 的尾部行为，尤其与简单随机游走进行比较。
• 在由参数 $ K $ 和 $ B $ 定义的不同漂移制度下，刻画 $ P(M=n, D<\infty) $ 的精确渐近衰减速率。

提出的方法

• 以状态依赖的转移概率 $ p_n = \frac{1}{2} \pm r_n $ 建模随机游走，其中 $ r_n $ 是基于迭代对数的缓慢变化扰动。
• 利用涉及乘积 $ \rho_1 \cdots \rho_j $ 的逃逸概率公式，其中 $ \rho_j = q_j / p_j $，将 $ P(M=n, D<\infty) $ 表示为这些比值的和与积的形式。
• 应用积分比较技术及迭代对数积分的渐近分析，以估计部分和 $ \sum_{j=1}^n \rho_1 \cdots \rho_j $ 的增长。
• 通过积分近似和单调性论证推导渐近等价性，特别针对包含 $ x \log x \cdots (\log_{K-1}x)^B $ 的和式。
• 依赖已知的常返性判据以及引理2和引理3，建立 $ \rho_1 \cdots \rho_n $ 及其累积和的行为。
• 通过基于 $ K $（对数迭代次数）和 $ B $（漂移参数）的案例分析验证结果，区分 $ p_n = \frac{1}{2} + r_n $ 与 $ p_n = \frac{1}{2} - r_n $ 的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 当漂移渐近为零时，最近邻随机游走的最大值 $ M $ 的渐近分布与简单对称随机游走相比有何不同？
• RQ2 当漂移通过 $ r_n = \Lambda(K,i,B)/4 $ 扰动时，$ P(M=n, D<\infty) $ 的精确衰减速率是什么？其如何依赖于 $ K $ 和 $ B $？
• RQ3 $ M $ 的尾部是否可能表现出多项式或指数衰减之外的速度，例如 $ (n \log n \cdots \log_{K-1}n)^{-1} $，在何种条件下？
• RQ4 游走的常返性性质（瞬态、零常返、正常返）如何影响 $ M $ 的渐近行为？
• RQ5 是否存在一个统一框架，可描述不同 $ K $ 和 $ B $ 制度下的最大值分布，包括对数迭代形式？

主要发现

• 当 $ p_n = \frac{1}{2} + r_n $ 时，尾部满足 $ P(M=n, D<\infty) \sim \frac{c}{n \log n \cdots \log_{K-1}n (\log_K n)^2} $（当 $ B=1 $ 时），显示双对数衰减。
• 当 $ p_n = \frac{1}{2} + r_n $ 且 $ B>1 $ 时，衰减速率为 $ \sim \frac{c}{n \log n \cdots \log_{K-1}n (\log_{K-1}n)^B} $，表明其衰减慢于多项式（当 $ B>1 $ 时）。
• 当 $ p_n = \frac{1}{2} + r_n $ 且 $ B<1 $ 时，衰减速率为 $ \sim \frac{c}{n \log n \cdots \log_{K-1}n (\log_{K-1}n)^{2-B}} $，指数随 $ B $ 连续变化。
• 当 $ p_n = \frac{1}{2} - r_n $ 时，若 $ K=1 $ 且 $ B>-1 $，则衰减速率为 $ \sim \frac{c}{n^{B+2}} $，显示幂律衰减，指数为 $ B+2 $。
• 当 $ K=1 $ 且 $ B=-1 $ 时，衰减速率为 $ \sim \frac{c}{n (\log n)^2} $，其衰减慢于任意幂律但快于 $ n^{-1} $。
• 当 $ K=1 $ 且 $ B<-1 $ 时，尾部衰减为 $ \sim c n^B $，即负指数的多项式衰减，表明重尾行为。