[论文解读] On a Question of Hamkins and Löwe on the modal logic of collapse forcing

Mohammad Golshani, William Mitchell|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2016

Advanced Topology and Set Theory参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文研究了坍缩 forcing 的模态逻辑，回应了 Hamkins 和 Löwe 提出的问题：是否存在模型 $N$，使得对任意将基数坍缩至 $ω$ 的泛型坍缩 $g$，都有 $N \equiv N[g]$。通过使用核心模型理论和 Radin forcing，本文建立了两个弱化版 Hamkins-Löwe 性质的等价一致性结果——分别针对后继基数和不可达基数以下的俱乐部集合——并证明这些弱化性质的一致性强度可由存在一个不可达基数以上的 Woodin 卡尔迪纳尔推导而出，从而为完整版 Hamkins-Löwe 性质提供了目前最佳的下界。

ABSTRACT

Hamkins and Löwe asked whether there can be a model $N$ of set theory with the property that $N\equiv N[g]$ whenever $g$ is a generic collapse of a cardinal of $N$ onto $ω$. We give equiconsistency results for two weaker versions of this property. We also include a proof of Woodin's result that the consistency of the full Hamkins-Löwe property follows from that of a Woodin cardinal with an inaccessible above.

研究动机与目标

• 研究两个弱化版 Hamkins-Löwe 性质的一致性强度，该性质要求对任意将基数坍缩至 $ω$ 的泛型坍缩 $g$，都有 $N \equiv N[g]$。
• 确定在不可达基数 $\kappa$ 以下的后继基数上，Hamkins-Löwe 性质在大基数假定下的相对一致性。
• 分析在不可达基数 $\kappa$ 以下的俱乐部集合上的 Hamkins-Löwe 性质，特别关注 Steel 核心模型 $K$ 的情境。
• 为这些弱化性质提供等价一致性结果，从而为完整版 Hamkins-Löwe 性质提供目前最佳的下界。
• 探讨在核心模型的 forcing 扩张中，超滤子是否可定义，这对加强结果至关重要。

提出的方法

• 作者定义了 Hamkins-Löwe 性质的两个弱化版本：一个针对不可达基数 $\kappa$ 以下的后继基数，另一个针对 $\kappa$ 以下的俱乐部集合。
• 他们使用 Steel 核心模型 $K$ 和 Radin forcing 构造了弱化性质成立的模型，依赖于存在一个可度量基数和一个集合 $C \subset \kappa$ 的俱乐部。
• 该方法涉及在 $C_1^\kappa$ 中的基数 $\lambda$ 上定义统一的滤子族 $F^\lambda_\alpha$，利用从测度 $U_\lambda$ 导出的延伸器，并证明当 $\alpha > 0$ 时，这些滤子是 $U_\lambda$-延伸器。
• 证明利用了序列 $\langle U_\lambda \mid \lambda \in C_1^\kappa \rangle$ 在 $K[C]$ 中的可定义性，从而在 forcing 扩张中构造出所需的滤子。
• 作者应用了 Woodin 的结果：若存在一个 Woodin 卡尔迪纳尔且其上存在一个不可达基数，则存在一个满足完整 Hamkins-Löwe 性质的可数良基模型。
• 他们分析了 $M_d$（即包含一个 $d$-度实数的最小传递 ZFC 模型）在 $\operatorname{Col}(\omega, <\kappa)$ 的泛型扩张中的行为，证明当 $e \geq_T d$ 时，有 $M_d \equiv M_e$。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个 $ZFC$ 的模型 $N$，使得对任意将基数坍缩至 $ω$ 的泛型坍缩 $g$，都有 $N \equiv N[g]$？
• RQ2 在不可达基数 $\kappa$ 以下的后继基数上，Hamkins-Löwe 性质的一致性强度为何？
• RQ3 在不可达基数 $\kappa$ 以下的基数的俱乐部集合上，Hamkins-Löwe 性质的一致性强度为何？
• RQ4 完整版 Hamkins-Löwe 性质是否可能与一个满足弱覆盖引理的核心模型共存？
• RQ5 是否可以在不使用参数的情况下，在 $K[C]^{\operatorname{Col}(\omega,\lambda)}$ 中定义超滤子 $U_\lambda$，仅依赖于 $\kappa$ 和 $C \setminus \lambda$？

主要发现

• 在不可达基数 $\kappa$ 以下的后继基数上，Hamkins-Löwe 性质与存在一个不可达基数以上的 Woodin 卡尔迪纳尔等价一致。
• 在不可达基数 $\kappa$ 以下的俱乐部集合上，Hamkins-Löwe 性质与存在一个不可达基数以上的 Woodin 卡尔迪纳尔等价一致，前提是存在 Steel 核心模型 $K$。
• 重证了 Woodin 的结果：若存在一个 Woodin 卡尔迪纳尔且其上存在一个不可达基数，则存在一个可数良基模型，满足完整版 Hamkins-Löwe 性质。
• 序列 $\langle U_\lambda \mid \lambda \in C_1^\kappa \rangle$ 在 $K[C]$ 中是统一可定义的，从而使得所需滤子 $F^\lambda_\alpha$ 的构造成为可能。
• 证明了当 $\alpha > 0$ 时，滤子 $F^\lambda_\alpha$ 是 $U\_\lambda$-延伸器，这对构造满足弱化性质的模型至关重要。
• 本文确立了完整版 Hamkins-Löwe 性质的一致性强度下界为一个不可达基数以上的 Woodin 卡尔迪纳尔，且在当前方法下该下界是紧致的。