[论文解读] On a relation between the Szeged index and the Wiener index for bipartite graphs

Lily Chen, Xueliang Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2012

Graph theory and applications参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文证实了Hansen的猜想：对于具有 $ n \geq 4 $ 个顶点和 $ m \geq n $ 条边的二分连通图，Szeged指标与Wiener指标之差满足 $ Sz(G) - W(G) \geq 4n - 8 $。证明基于块分解与边贡献分析，表明等式仅在 $ C_4 $ 与一个包含 $ n-3 $ 个顶点的树共享一个顶点时成立，并由于图的二分结构，该结果可推广至修正的Szeged指标。

ABSTRACT

{\small The Wiener index $W(G)$ of a graph $G$ is the sum of the distances between all pairs of vertices in the graph. The Szeged index $Sz(G)$ of a graph $G$ is defined as $Sz(G)=\sum_{e=uv \in E}n_u(e)n_v(e)$ where $n_u(e)$ and $n_v(e)$ are, respectively, the number of vertices of $G$ lying closer to vertex $u$ than to vertex $v$ and the number of vertices of $G$ lying closer to vertex $v$ than to vertex $u$. Hansen used the computer programm AutoGraphiX and made the following conjecture about the Szeged index and the Wiener index for a bipartite connected graph $G$ with $n \geq 4$ vertices and $m \geq n$ edges: $$ Sz(G)-W(G) \geq 4n-8. $$ Moreover the bound is best possible as shown by the graph composed of a cycle on 4 vertices $C_4$ and a tree $T$ on $n-3$ vertices sharing a single vertex. This paper is to give a confirmative proof to this conjecture.

研究动机与目标

• 证明Hansen的猜想：对于所有具有 $ n \geq 4 $ 个顶点和 $ m \geq n $ 条边的二分连通图，有 $ Sz(G) - W(G) \geq 4n - 8 $。
• 通过识别极值图（即 $ C_4 $ 与一个包含 $ n-3 $ 个顶点的树共享一个顶点的图）来确立该界为紧致界。
• 将结果推广至修正的Szeged指标 $ Sz^*(G) $，证明在二分图中该不等式同样成立。
• 基于块分解与2-连通图及一般二分图中的边贡献分析，提供一种结构化证明。

提出的方法

• 将图分解为块，并通过函数 $ \mu_{x,y}(e) $ 分析顶点对对差值 $ Sz(G) - W(G) $ 的贡献，该函数追踪边对Szeged指标的贡献。
• 利用恒等式 $ Sz(G) = \sum_{\{x,y\} \subseteq V} \sum_{e \in E} \mu_{x,y}(e) $ 与 $ W(G) = \sum_{\{x,y\} \subseteq V} d(x,y) $，因此 $ Sz(G) - W(G) = \sum_{\{x,y\} \subseteq V} \left( \sum_{e \in E} \mu_{x,y}(e) - d(x,y) \right) $。
• 证明对每个顶点对 $ x,y $，有 $ \sum_{e \in E} \mu_{x,y}(e) - d(x,y) \geq 1 $，且在某些情况下严格大于1，方法基于最短路径与次短路径以及环结构的分析。
• 通过考虑同一块内、不同块之间以及路径必须经过割点的性质，分析块结构图。
• 通过按每个块分组贡献并应用基于块大小 $ n_i $ 的不等式（特别是 $ n_1 \geq 4 $ 且 $ n_i = 2 $ 对于 $ i \geq 2 $）来建立总和的下界。
• 利用在二分图中 $ n_0(e) = 0 $ 的事实，因此 $ Sz^*(G) = Sz(G) $，从而同时证明了两种指标的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有具有 $ n \geq 4 $ 个顶点和 $ m \geq n $ 条边的二分连通图，不等式 $ Sz(G) - W(G) \geq 4n - 8 $ 是否成立？
• RQ2 在猜想的不等式中，达到等式的极值图是什么？
• RQ3 该界是否同样适用于二分图中的修正Szeged指标 $ Sz^*(G) $？
• RQ4 能否通过块分解与路径多重性分析，对差值 $ Sz(G) - W(G) $ 建立下界？
• RQ5 在何种结构条件下，对所有顶点对均有 $ \sum_{e \in E} \mu_{x,y}(e) - d(x,y) \geq 1 $ 成立？

主要发现

• Hansen猜想 $ Sz(G) - W(G) \geq 4n - 8 $ 对所有具有 $ n \geq 4 $ 个顶点和 $ m \geq n $ 条边的二分连通图均成立。
• 等式成立当且仅当图由一个 $ C_4 $ 环与一个包含 $ n-3 $ 个顶点的树共享一个顶点构成。
• 该界为紧致界，无法进一步改进，如 $ C_4 $-树构造所示。
• 对于 $ k \geq 5 $，通过不等式 $ n_1(n - n_1) \geq 4(n - 4) $ 确认差值 $ Sz(G) - W(G) \geq 4n - 8 $，当 $ n_1 = 4 $ 且其余所有块大小为2时取等。
• 对于 $ k = 2,3,4 $，该不等式依然成立，且在 $ n = 5,6,7 $ 时分别达到等式，对应相同的极值图结构。
• 由于在二分图中 $ n_0(e) = 0 $，故 $ Sz^*(G) = Sz(G) $，因此 $ Sz^*(G) - W(G) \geq 4n - 8 $ 同样成立，从而证实了猜想1.2。