[论文解读] On Abhyankar's irreducibility criterion for quasi-ordinary polynomials

Janusz Gwoździewicz, Beata Hejmej|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 1

一句话总结

本文将阿布扬卡的平面解析曲线不可约性判别法推广至高维准平凡多项式。研究证明：若不可约准平凡多项式 f 与另一魏尔斯特拉斯多项式 g 的结式中所有单项式之阶数均超过 (deg g)q_k，则 g 亦为不可约且准平凡，其特征指数为 (h₁,…,h_k)，从而将经典结果推广至多元幂级数环。

ABSTRACT

Let $f$ and $g$ be Weierstrass polynomials with coefficients in the ring of formal power series over an algebraically closed field of characteristic zero. Assume that $f$ is irreducible and quasi-ordinary. We show that if degree of $g$ is small enough and all monomials appearing in the resultant of $f$ and $g$ have orders big enough, then $g$ is irreducible and quasi-ordinary, generalizing Abhyankar's irreducibility criterion for plane analytic curves.

研究动机与目标

• 将阿布扬卡关于平面曲线的经典不可约性判别法推广至高维准平凡多项式。
• 基于不可约准平凡 f 与另一魏尔斯特拉斯多项式 g 的结式，刻画 g 为不可约且准平凡的条件。
• 引入并运用不可约魏尔斯特拉斯多项式之间对数接触的概念，以重新表述主要判别准则。
• 证明阿布扬卡-莫不可约性判别法可作为主定理的特例推出。

提出的方法

• 使用 K[[X]][Y] 中两个魏尔斯特拉斯多项式 f 与 g 的结式 Res(f, g)，其中 f 为不可约且准平凡。
• 对 Res(f, g) 中所有单项式的阶施加条件：其阶数必须超过 (deg g)q_k（对某个 k ≤ s）。
• 引入 f 的特征指数 (h₁,…,h_s)，并构造格点序列 M_i 及其对应权值 e_i, q_i。
• 将对数接触 contA(f, g) 定义为结式的归一化牛顿多面体，从而实现阶条件的几何解释。
• 利用加权阶与牛顿多面体分析 K[[X^{1/m}]] 中根及其差的结构。
• 以 f 与 g 之间的对数距离重新表述主要结果，证明若 contA(f, g) > contA(f, f_k)，则 g 为不可约且具有正确的特征指数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 f 为不可约且准平凡时，结式 Res(f, g) 满足何种条件可使魏尔斯特拉斯多项式 g 为不可约且准平凡？
• RQ2 Res(f, g) 中单项式的阶与 g 的特征指数之间有何关系？
• RQ3 阿布扬卡关于平面曲线的经典不可约性判别法能否作为更一般多变量判别法的特例推导而出？
• RQ4 结式的牛顿多面体在判断 g 的不可约性与准平凡性方面起何种作用？
• RQ5 f 与 g 之间的对数接触如何编码关于 g 的特征指数的信息？

主要发现

• 若 Res(f, g) 中所有单项式的阶数均大于 (deg g)q_k，则 g 为不可约且准平凡，其次数为 n₁⋯n_k，特征指数为 (h₁,…,h_k)。
• 对 g 的每个根 γ，均存在 f 的一个根 α，使得 γ − α = ∑_{h > h_k} c_h X^h，即 γ 在牛顿阶意义下接近 α。
• 若 X^{(deg g)q_k+1} 整除 Res(f, g)，则 Res(f, g) = u(X) X^{(deg g)q_k+1}，其中 u(0) ≠ 0，表明满足精确的阶条件。
• 此时，g 的每个根 γ 满足 γ − α = c_{h_{k+1}} X^{h_{k+1}} + ∑_{h > h_{k+1}} c_h X^h，表明下一个特征指数显式出现。
• 当 d=2 且 f 为不可约且满足 i₀(f,X)=n 时，阿布扬卡-莫判别法可作为主定理的特例恢复。此时，结式阶条件 i₀(f,g) > n q_s 推出 g 的不可约性。
• 对不可约准平凡多项式，对数接触满足强三角不等式，但对更广义的魏尔斯特拉斯多项式类，该不等式一般不成立。