[论文解读] On algebraic structures of the Hochschild complex

Hossein Abbaspour|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 42被引用 9

一句话总结

本文在各种代数条件下——如卡拉比-丘、导出庞加莱对偶性、开与闭弗罗贝尼乌斯代数——建立了微分分次代数的霍赫希尔德上同调与同调上的巴塔林-维洛维奇（BV）代数结构，为自由环路空间上同调上的弦拓扑运算提供了代数模型。关键结果是：当 $ A $ 为对称开弗罗贝尼乌斯代数时，霍赫希尔德上同调 $ HH^*(A, A^u) $ 携带 BV 结构；当 $ A $ 为闭弗罗贝尼乌斯代数时，$ HH^*(A,A) $ 继承 BV 结构，通过孔内斯的正合列与苏利文弦图及重力代数结构相联系。

ABSTRACT

We first review various known algebraic structures on the Hochschild (co)homology of a differential graded algebras under weak Poincar{é} duality hypothesis, such as Calabi-Yau algebras, derived Poincar{é} duality algebras and closed Frobenius algebras. This includes a BV-algebra structure on $HH^*(A,A^\vee)$ or $HH^*(A,A)$, which in the latter case is an extension of the natural Gerstenhaber structure on $HH^*(A,A)$. As an example, after proving that the chain complex of the Moore loop space of a manifold $M$ is a CY-algebra and using Burghelea-Fiedorowicz-Goodwillie theorem we obtain a BV-structure on the homology of the free space. In Sections 6 we prove that these BV/coBVstructures can be indeed defined for the Hochschild homology of a symmetric open Frobenius DG-algebras. In particular we prove that the Hochschild homology and cohomology of a symmetric open Frobenius algebra is a BV and coBV-algebra. In Section 7 we exhibit a BV structure on the shifted relative Hochschild homology of a symmetric commutative Frobenius algebra. The existence of a BV-structure on the relative Hochschild homology was expected in the light of Chas-Sullivan and Goresky-Hingston results for free loop spaces. In Section 8 we present an action of Sullivan diagrams on the Hochschild (co)chain complex of a closed Frobenius DG-algebra. This recovers Tradler-Zeinalian \cite{TZ} result for closed Froebenius algebras using the isomorphism $C^*(A ,A) \simeq C^*(A,A^\vee)$.

研究动机与目标

• 在卡拉比-丘与导出庞加莱对偶性条件下，构建微分分次代数的霍赫希尔德上同调与同调上的 BV 代数结构。
• 为对称开弗罗贝尼乌斯代数建立 $ HH^*(A, A^\nu) $ 上的 BV 结构，为闭弗罗贝尼乌斯代数建立 $ HH^*(A,A) $ 上的 BV 结构。
• 通过与霍赫希尔德（上）同调的同构，将这些代数结构与自由环路空间上同调上的拓扑弦拓扑运算联系起来。
• 证明循环上同调与负循环上同调可从霍赫希尔德上同调的 BV 结构继承重力代数结构。
• 通过闭弗罗贝尼乌斯代数为苏利文弦图在霍赫希尔德链上的作用提供导出代数模型。

提出的方法

• 使用导出函子与模型范畴理论，将霍赫希尔德（上）同调解释为微分分次模范畴中的导出函子。
• 应用希尼奇定理，将微分分次模的导出范畴与复形的导出范畴联系起来。
• 通过一个收缩同伦与一个度数为 1 的算子 $ e $，在卡拉比-丘代数与导出庞加莱对偶代数上建立 $ HH^*(A,A) $ 上的 BV 结构。
• 通过一个移位的相对霍赫希尔德同调构造，在对称交换开弗罗贝尼乌斯代数上构造 $ HH_*(A,A) $ 与 $ HH^*(A,A^\nu) $ 上的 BV 结构。
• 在闭弗罗贝尼乌斯代数 $ A $ 的霍赫希尔德链上建立苏利文弦图的作用，从而在循环上同调上诱导出重力代数结构。
• 利用孔内斯正合列将霍赫希尔德上同调上的 BV 结构上移到循环上同调，通过 $ \{x_1,\dots,x_k\} := i(b(x_1)\cup\cdots\cup b(x_k)) $ 定义弦括号。

实验结果

研究问题

• RQ1 在微分分次代数 $ A $ 的何种条件下，$ HH^*(A,A) $ 携带巴塔林-维洛维奇代数结构？
• RQ2 如何通过霍赫希尔德上同调代数地建模自由环路空间上同调 $ H_*(LM) $ 上的 BV 结构？
• RQ3 何种代数结构可保证 $ HH^*(A,A^\nu) $ 携带 BV 结构，且其与弦拓扑运算的关系为何？
• RQ4 模空间对曲线的作用如何从霍赫希尔德（上）同调代数地产生？
• RQ5 循环上同调上的重力代数结构能否从霍赫希尔德上同调上的 BV 结构导出？

主要发现

• 卡拉比-丘微分分次代数或导出庞加莱对偶代数的霍赫希尔德上同调 $ HH^*(A,A) $ 携带 BV 代数结构，其底层的格伦斯坦哈伯括号为标准形式。
• 对于对称开弗罗贝尼乌斯代数 $ A $，$ HH_*(A,A) $ 与 $ HH^*(A,A^\nu) $ 均为 BV 代数，当 $ A $ 为闭弗罗贝尼乌斯代数时，后者同构于 $ HH^*(A,A) $。
• 当 $ A = C^*(M) $ 为单连通流形 $ M $ 的上链代数且 $ A $ 通过基本类满足庞加莱对偶性时，有同构 $ H_*(LM) \simeq HH^*(A,A^\nu) $ 作为 BV 代数成立。
• 在闭弗罗贝尼乌斯代数 $ A $ 的霍赫希尔德同调 $ HH_*(A,A) $ 上，苏利文弦图的作用诱导出循环上同调上的重力代数结构，括号由 $ \{x_1,\dots,x_k\} := i(b(x_1)\cup\cdots\cup b(x_k)) $ 定义。
• 循环上同调通过 $ \{x,y\} := i(b(x)\cup b(y)) $ 从霍赫希尔德上同调的 BV 结构继承一个分次李代数结构，该结构称为弦括号。
• 霍赫希尔德上同调上的 BV 结构可上移到负循环上同调，从而诱导出重力代数结构，通过迭代积分将戈德曼括号推广至高维流形。