[论文解读] On an inverse boundary problem for mean field games

Hongyu Liu, Shen Zhang|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2022

Stochastic processes and financial applications被引用 8

一句话总结

该论文首次建立了平均场博弈（MFGs）中逆边界问题的唯一可识别性结果，证明了在子区域中运行成本函数 $F$ 可由MFG系统的边界测量唯一确定。作者提出了一种新颖的高阶线性化方案，并构造了复几何光学（CGO）解，以处理带有概率测度约束的耦合前向-后向PDE系统，从而实现从诺伊曼边界数据中恢复 $F$。

ABSTRACT

In this paper, we propose and study an inverse boundary problem for the mean field games (MFGs) governed by the first-order master equation in a bounded domain. We establish the unique identifiability result by showing that the running cost function within any given proper (state) space-time subdomain is uniquely determined by the MFG boundary data of this subdomain. There are several salient features of our study. The MFG system couples two nonlinear parabolic PDEs with one forward in time and the other one backward in time, and moreover there is a probability measure constraint. These make the inverse problem study new to the literature and highly challenging. We develop an effective and efficient scheme in tackling the inverse problem including the high-order variation in the probability space around a nontrivial distribution, and the construction of a novel class of CGO solutions to serve as the ``probing modes". Our study opens up a new field of research on inverse problems for MFGs.

研究动机与目标

• 研究从边界测量中恢复平均场博弈（MFG）系统中运行成本函数 $F$ 的逆问题。
• 为受一阶主方程控制、具有耦合前向-后向PDE与概率测度约束的MFGs建立首个唯一可识别性结果。
• 开发一种新的分析框架以应对MFG中逆问题的挑战，这些挑战源于时间不可逆动力学和测度值约束带来的高度非线性和结构复杂性。
• 通过在概率空间中引入高阶变分技术，克服非线性项中非平凡的分布依赖性。

提出的方法

• 提出一种新颖的高阶线性化策略，用于分析非线性MFG系统，将扰动视为在非平凡分布周围的概率测度空间中的变化。
• 构造一类新的复几何光学（CGO）解，用于线性化后的MFG系统，作为探测模式，用于从边界数据中提取关于 $F$ 的信息。
• 采用多级线性化方法：通过一阶与二阶线性化，解耦 $F$ 对测度和值函数的非线性依赖关系。
• 利用Carleman估计和先验 $L^2$-型估计，控制线性化系统的解，确保逼近序列的收敛性。
• 通过利用傅里叶变换差异在零处的唯一延拓性质，得出唯一性结论。
• 仅使用MFG系统的诺伊曼边界数据作为观测数据，确保在所提框架下逆问题适定。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从值函数和人口密度的边界测量中唯一恢复平均场博弈中的运行成本函数 $F$？
• RQ2 如何处理具有概率测度约束的耦合前向-后向PDE系统的逆问题？
• RQ3 鉴于时间不可逆结构与非线性耦合，研究MFG中逆问题所需的新型分析工具是什么？
• RQ4 高阶线性化技术能否被适配到MFG系统中概率测度空间，以提取关于 $F$ 的结构信息？
• RQ5 是否可能构造有效的探测解（如CGO型）以从此类系统中的边界数据识别运行成本？

主要发现

• 运行成本函数 $F$ 可在任意时空子区域 $\Omega \times (0,T)$ 中，从MFG系统的诺伊曼边界数据中唯一识别。
• 作者证明：若两个MFG系统产生相同的边界数据，则其在子区域中的运行成本函数必须完全相同，即 $F_1 = F_2$。
• 该证明依赖于对MFG系统的多级高阶线性化，该方法解耦了 $F$ 对测度和值函数的非线性依赖。
• 通过构造具有特定振荡行为的CGO解，作者能够提取差值 $F_1 - F_2$ 的傅里叶变换，该变换为零，从而推出 $F_1 = F_2$。
• 该方法在初始测度 $m_0$ 为正且解足够正则的假设下具有鲁棒性，确保在开集内解不恒为零。
• 在终端成本 $G$ 和初始数据 $m_0$ 固定、仅 $F$ 未知的条件下，该结果成立，使得逆问题定义良好。