[论文解读] On approximation of quantum channels

M. E. Shirokov, A. S. Holevo|ArXiv.org|Nov 14, 2007

Quantum Information and Cryptography参考文献 18被引用 14

一句话总结

该论文提出了一种基于迹非增完全正映射（操作）的无限维量子通道近似框架，聚焦于相干熵特征（如Holevo容量和输出熵的凸包）的连续性性质。研究确立了强收敛拓扑作为近似的自然设定，证明了近似序列的一致收敛性，并实现了对无限维通道的强可加性结果。

ABSTRACT

We develop an approximation approach to infinite dimensional quantum channels based on detailed investigation of the continuity properties of entropic characteristics of quantum channels and operations (trace-nonincreasing completely positive maps) as functions of a pair ``channel, input state''. The obtained results are then applied to the following problems: continuity of the $χ$-capacity as function of a channel; strong additivity of the $χ$-capacity for infinite dimensional channels; the analytical expression for the convex closure of the output entropy of arbitrary quantum channel.

研究动机与目标

• 解决无限维量子通道中熵特征的不连续性和无界性问题。
• 通过近似方法，将有限维情形下的经典容量结果推广至无限维设置。
• 建立一个严格的拓扑框架——强收敛——用于近似量子操作和通道。
• 证明输出熵凸包和Holevo容量的近似序列的一致收敛性。
• 通过从有限维情形的近似，实现对无限维通道Holevo容量的强可加性。

提出的方法

• 引入量子操作上的强收敛拓扑，证明其通过广义Choi-Jamiolkowski同构与复合系统中某类态的子集同构。
• 定义并分析作为通道和输入态函数的输出熵的凸包及受限Holevo容量（χ-函数）。
• 利用广义Choi-Jamiolkowski同构推导操作集合的紧致性准则。
• 构造通道Φ的有限秩近似序列Φₙ，并将Ȟₙᶿ(ρ)定义为对所有态集的下确界。
• 应用Dini引理与连续性结果，证明在输出熵连续的紧集上，Ȟₙᶿ一致收敛于coHᶿ。
• 借助该近似框架，证明无限维通道Holevo容量的强可加性，并将纠缠形成表示为有限秩近似序列的极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对无限维量子通道中不连续的熵特征进行有意义的近似？
• RQ2 何种拓扑结构可实现通过具有连续特征的操作对量子通道进行一致近似？
• RQ3 在何种条件下，近似函数序列Ȟₙᶿ一致收敛于输出熵的凸包？
• RQ4 能否通过有限维近似方法建立无限维通道Holevo容量的强可加性？
• RQ5 纠缠形成在操作近似序列中的表示形式为何？

主要发现

• 强收敛拓扑为近似量子操作和通道提供了自然且有效的框架，使得广义Choi-Jamiolkowski同构得以应用。
• 在输出熵连续的任意紧集上，近似函数序列Ȟₙᶿ一致收敛于coHᶿ。
• 对于高斯通道，当输入态具有有界平均能量时，Ȟₙᶿ对coHᶿ的收敛是一致的。
• 复合态ω的纠缠形成E_F(ω)等于极限limₙ→∞Ȟₙᶿ(ω)，证明其属于类P̂(S(H⊗K))。
• 通过该近似框架，无限维通道Holevo容量的强可加性可由有限维可加性猜想推出。
• 建立了对T₁(H)子集的紧致性准则，并证明A⊗B紧当且仅当A和B均紧。