[论文解读] On arithmetic families of filtered phi-modules and crystalline representations

Eugen Hellmann|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 8

一句话总结

本文证明了在局部有限型的 $E$-有理域上的 adic 空间上，算术族的过滤 $\varphi$-模堆的弱可接受子堆是开子堆，将经典的 $p$-进霍奇理论推广到族的情形。本文通过确定 Pappas 和 Rapoport 定义的从整 $p$-进霍奇理论数据到过滤 $\varphi$-模堆的周期态射的像，证实了他们的一个猜想，并在该开子堆上构造了结晶表示的普遍族。

ABSTRACT

We consider stacks of filtered phi-modules over rigid analytic spaces and adic spaces. We show that these modules parametrize p-adic Galois representations of the absolute Galois group of a p-adic field with varying coefficients over an open substack containing all classical points. Further we study a period morphism (defined by Pappas and Rapoport) from a stack parametrizing integral data and determine the image of this morphism.

研究动机与目标

• 在 adic 空间上定义并研究过滤 $\varphi$-模的算术族，推广 Rapoport-Zink 的几何设定。
• 在 Frobenius 和滤子均变化的算术背景下引入弱可接受性的概念。
• 证明在 adic 空间上过滤 $\varphi$-模堆中，弱可接受子堆是一个开子堆。
• 确定 Pappas 和 Rapoport 定义的从整 $p$-进霍奇理论数据到过滤 $\varphi$-模堆的周期态射的像。
• 在弱可接受子堆上构造结晶表示的普遍族，表明它普遍参数化所有此类族。

提出的方法

• 在以反射域 $E$ 为基的局部有限型 adic 空间范畴中工作，以避免在 étale 拓扑中出现病态现象，取代了刚性解析空间。
• 定义堆 $\mathfrak{D}_\nu$，参数化系数在 $K_0$ 中的 $K$-过滤 $\varphi$-模，配备半线性 Frobenius 和类型为 $\nu$ 的滤子。
• 在 adic 堆中引入弱可接受性的广义概念，将其从刚性解析设定中的经典条件推广。
• 利用 Robba 环及其完备化上的 $\varphi$-模理论，通过 $D_{\rm cris}$-函子将结晶表示与过滤 $\varphi$-模联系起来。
• 应用 Kedlaya-Liu 关于 Robba 环上 étale $\varphi$-模的结果，并将其推广到 adic 空间，证明弱可接受子堆是开的。
• 分析周期态射 $\Pi: \widehat{\mathcal{C}}_{K,\nu} \to \mathfrak{D}_\nu^{\rm rig}$，证明其因子化通过弱可接受子堆，并通过显式计算和下降论证确定其像。

实验结果

研究问题

• RQ1 在以 $E$ 为基的局部有限型 adic 空间上，算术族的过滤 $\varphi$-模堆中，弱可接受子堆是否为开子堆？
• RQ2 从整 $p$-进霍奇理论数据到过滤 $\varphi$-模堆的周期态射是否因子化通过弱可接受子堆？
• RQ3 在 Pappas 和 Rapoport 定义的整 $p$-进霍奇理论背景下，周期映射的像是什么？
• RQ4 是否可以在弱可接受子堆上构造结晶表示的普遍族？
• RQ5 在非平凡情形下，可接受子堆与残余伽罗瓦表示的形变空间有何关系？

主要发现

• 弱可接受子堆 $\mathfrak{D}_\nu^{\rm wa}$ 是 $E$-有理域上局部有限型 adic 空间上过滤 $\varphi$-模堆 $\mathfrak{D}_\nu$ 的一个开子堆。
• 周期态射 $\Pi: \widehat{\mathcal{C}}_{K,\nu} \to \mathfrak{D}_\nu^{\rm rig}$ 因子化通过 $\mathfrak{D}_\nu^{\rm wa}$，且其像恰好是弱可接受子堆。
• 周期映射的像是 $\mathfrak{D}_\nu^{\rm rig}$ 中所有关联过滤 $\varphi$-模为弱可接受的点的集合，从而证实了 Pappas 和 Rapoport 的猜想。
• 在开子堆 $\mathfrak{D}_\nu^{\rm wa}$ 上存在结晶表示的普遍族，其为带有连续 $G_K$-作用的向量丛，且为结晶表示。
• 一般情况下，可接受子堆严格小于整子堆，如例 8.29 所示，其中 $\mathfrak{D}_\nu^{\rm adm} \subsetneq \mathfrak{D}_\nu^{\rm int}$。
• 在例 8.30 中，可接受子堆不是残余表示形变空间的不相交并，表明族中存在非平凡的单值性行为。