[论文解读] On automorphic L-functions in positive characteristic

Luis Lomelí|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用 9

一句话总结

本文利用全局函数域上的朗兰兹-沙希迪方法，在正特征情况下建立了 Asai、外平方和对称平方 L 函数的存在性，及其 γ-因子与根数。证明了与分裂经典群和拟分裂酉群的 Siegel Levi 子群相关的自守 L 函数的有理性和函数方程，通过 Henniart 的唯一性结果与 GL_n 的局部朗兰兹猜想保持一致。

ABSTRACT

We give a proof of the existence of Asai, exterior square, and symmetric square local $L$-functions, $γ$-factors and root numbers in characteristic $p$, including the case of $p = 2$. Our study is made possible by developing the Langlands-Shahidi method over a global function field in the case of a Siegel Levi subgroup of a split classical group or a quasi-split unitary group. The resulting automorphic $L$-functions are shown to satisfy a rationality property and a functional equation. A uniqueness result of the author and G. Henniart allows us to show that the definitions provided in this article are in accordance with the local Langlands conjecture for ${ m GL}_n$. Furthermore, in order to be self contained, we include a treatise of $L$-functions arising from maximal Levi subgroups of general linear groups.

研究动机与目标

• 在正特征下完成分裂经典群与拟分裂酉群的 Siegel Levi 子群的自守 L 函数理论。
• 建立 Asai、外平方和对称平方局部 L 函数及其相关 γ-因子与根数的存在性，包括在 p=2 的情形。
• 验证所构造的 L 函数满足有理性和函数方程，与全局和局部朗兰兹猜想一致。
• 提供从一般线性群的最大 Levi 子群出发的 L 函数的自包含发展，作为基础工具。
• 将朗兰兹-沙希迪方法系统性地扩展至正特征情形，特别是经典群与酉群，以实现局部因子的乘法性质。

提出的方法

• 在全局函数域上应用朗兰兹-沙希迪方法于分裂经典群与拟分裂酉群的 Siegel Levi 子群。
• 利用相互作用算子与 Whittaker 模型定义局部系数，进而构造 γ-因子与 L 函数。
• 采用酉抛物诱导与 γ-因子的乘法性质，将结果从温和服务表示推广至一般表示。
• 以 Godement-Jacquet L 函数与 Rankin-Selberg 乘积作为理论的基础组成部分。
• 应用 Lomelí 与 Henniart 的唯一性结果，确保与 GL_n 的局部朗兰兹对应的一致性。
• 通过组合所有位置的局部因子，推导出全局函数方程，利用 L 函数关于 q^{-s} 的有理性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Asai、外平方与对称平方 L 函数在正特征下是否存在，包括在 p=2 的情形？
• RQ2 这些 L 函数在全局函数域设定下是否满足有理性和函数方程？
• RQ3 所构造的局部因子是否与正特征下 GL_n 的局部朗兰兹猜想一致？
• RQ4 朗兰兹-沙希迪方法能否系统性地扩展至全局函数域上经典群与酉群的 Siegel Levi 子群？
• RQ5 在此背景下，乘法性与全局函数方程如何从局部构造中自然涌现？

主要发现

• 证明了自守 L 函数 L(s,π,r_i) 是 q^{-s} 的有理函数，确立了‘良好’ L 函数所需的有理性性质。
• 存在全局函数方程 L(s,π,r_i) = ε(s,π,r_i)L(1-s,π̃,r_i)，其中 ε-因子与加法特征 ψ 无关。
• 所构造的 γ-因子与 L 函数具有唯一性，并通过 Lomelí 与 Henniart 的唯一性结果，与 GL_n 的局部朗兰兹对应相容。
• 定义了 Asai γ-因子并证明其满足全局函数方程，将该理论扩展至正特征情形。
• 该理论完全自包含，包括对 GL_n 的最大 Levi 子群的 L 函数及 Godement-Jacquet 因子的基础处理。
• 通过温和服务表示与无瑕扭的手段，确立了 L 函数与 ε-因子的乘法性，从而实现从温和服务表示到任意表示的推广。