[论文解读] On automorphism groups of fiber bundles

Michel Brion|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 25

一句话总结

本文建立了纤维丛的典型复几何结果在代数几何中的方案论类比，聚焦于代数群和阿贝尔簇上的主齐性空间。证明了当 $G$ 为阿贝尔簇时，完备概形上 $G$-主齐性空间的连通自同构群会满射到基空间的自同构群，推广了 Blanchard 定理，并使得在代数几何中研究阿贝尔簇上的齐性丛成为可能。

ABSTRACT

We obtain analogues of classical results on automorphism groups of holomorphic fiber bundles, in the setting of group schemes. Also, we establish a lifting property of the connected automorphism group, for torsors under abelian varieties. These results will be applied to the study of homogeneous bundles over abelian varieties.

研究动机与目标

• 将纤维丛自同构群的经典复几何结果推广到代数几何与群概形的设定中。
• 在 $G$ 为阿贝尔簇时，建立 $G$-主齐性空间的连通自同构群的提升性质，确保其满射到基空间的自同构群。
• 证明当 $X \to Y$ 是 $G$-主齐性空间且 $Z$ 是 $G$-齐性簇时，关联纤维丛 $X \times^G Z$ 的存在性，确保其为概形而非仅代数空间。
• 提供 Blanchard 定理的方案论版本，表明在结构层的直接像为平凡时，自同构可通过正规态射下降。
• 通过提升与下降技术将问题约化为线性结构群，发展研究阿贝尔簇上齐性丛的工具。

提出的方法

• 将 Blanchard 定理的证明适配到代数几何中，使用满足 $\pi_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_Y$ 的正规态射 $\pi: X \to Y$，由此诱导同态 $\pi_*: \mathrm{Aut}^o(X) \to \mathrm{Aut}^o(Y)$。
• 通过 $G$-主齐性空间 $\pi: X \to Y$ 和 $G$-齐性簇 $Z$ 构造关联纤维丛 $X \times^G Z$，证明当 $Z$ 为 $G$-主齐性空间或可通过同态作用于 $G$ 时，其存在性为概形。
• 利用等变完备化技术，证明在正规概形上 $G$-主齐性空间的等变自同构群是局部有限型的群概形，推广了 Morimoto 定理。
• 应用 Chevalley 的结构定理，将连通代数群分解为仿射部分与阿贝尔部分，从而分析相对自同构群。
• 证明自同构的提升结果：当 $X \to Y$ 是 $G$-主齐性空间，$G$ 为阿贝尔簇，且 $X,Y$ 光滑且完备时，$X$ 的连通自同构群满射到 $Y$ 的连通自同构群。
• 利用消去奇异点技术与基变换，将问题约化到正规概形的情形，利用 $f_*\mathcal{O}_{Y'} = \mathcal{O}_Y$ 的性质（在等变消去奇异点中成立）。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $G$ 为阿贝尔簇时，完备概形上 $G$-主齐性空间的连通自同构群是否满射到基空间的自同构群？
• RQ2 Blanchard 在复李群作用下降方面的经典结果能否推广到代数群概形与结构层直接像为平凡的正规态射的情形？
• RQ3 当 $X \to Y$ 是 $G$-主齐性空间且 $Z$ 是 $G$-齐性簇时，关联纤维丛 $X \times^G Z$ 在何种条件下为概形而非仅代数空间？
• RQ4 在正规概形上 $G$-主齐性空间的等变自同构群是否为局部有限型的群概形？其结构与 $G$ 的关系如何？
• RQ5 在光滑态射且相对切丛平凡的情形下，能否将基空间上的全局向量场提升到全空间上的全局向量场，特别是在阿贝尔簇上的主齐性空间中？

主要发现

• 当 $G$ 为阿贝尔簇且 $X,Y$ 光滑完备时，$G$-主齐性空间 $X \to Y$ 的连通自同构群满射到基空间 $Y$ 的连通自同构群，确立了关键的提升性质。
• 对任意子群概形 $H \subset G$，关联纤维丛 $X \times^G G/H = X/H$ 作为概形存在；更一般地，当 $Z$ 为 $G$-主齐性空间或可通过同态作用于 $G$ 时，$X \times^G Z$ 作为概形存在。
• 在正规概形上 $G$-主齐性空间的等变自同构群是局部有限型的群概形，提供了 Morimoto 定理在代数几何中的类比。
• 当 $X \to Y$ 是 $G$-主齐性空间，$G$ 为阿贝尔簇，且 $X,Y$ 光滑完备时，存在 $\mathrm{Aut}^G(X)$ 的闭连通子群 $H$，使得其通过自然映射 $\pi_*$ 与 $\mathrm{Aut}^o(Y)$ 之间是同源的。
• 在特征零与正规性假设下，$\pi_*: \mathrm{Aut}^o(X) \to \mathrm{Aut}^o(Y)$ 的满射性成立，并可推广到相对切丛平凡时的向量场提升情形。
• 在正特征与非正规 $G$ 的情形下，该结果不成立，反例涉及阿贝尔簇上非挠线丛的 $\mathbb{G}_m$-主齐性空间。