[论文解读] On $b$-Whittaker functions

Gus Schrader, Alexander Shapiro|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 24被引用 7

一句话总结

本文利用量子丛代数，发展了 $b$-Whittaker 函数的解析理论，推导出 Givental 积分公式的模形式 $b$-类比，并证明了 $b$-Whittaker 变换的酉性。研究确立了这些函数是德恩扭转算子的本征向量，并满足关键积分恒等式的 $b$-类比，从而完成了 Frenkel 与 Ip 的张量积猜想的解析证明，以及 Fock 与 Goncharov 的模形式范畴猜想的证明。

ABSTRACT

The $b$-Whittaker functions are eigenfunctions of the modular $q$-deformed $\mathfrak{gl}_n$ open Toda system introduced by Kharchev, Lebedev, and Semenov-Tian-Shansky. Using the quantum inverse scattering method, the named authors obtained a Mellin-Barnes integral representation for these eigenfunctions. In the present paper, we develop the analytic theory of the $b$-Whittaker functions from the perspective of quantum cluster algebras. We obtain a formula for the modular open Toda system's Baxter operator as a sequence of quantum cluster transformations, and thereby derive a new modular $b$-analog of Givental's integral formula for the undeformed Whittaker function. We also show that the $b$-Whittaker functions are eigenvectors of the Dehn twist operator from quantum higher Teichmüller theory, and obtain $b$-analogs of various integral identities satisfied by the undeformed Whittaker functions, including the continuous Cauchy-Littlewood identity of Stade and Corwin-O'Connell-Seppäläinen-Zygouras. Using these results, we prove the unitarity of the $b$-Whittaker transform, thereby completing the analytic part of the proof of the conjecture of Frenkel and Ip on tensor products of positive representations of $U_q(\mathfrak{sl}_n)$, as well as the main step in the modular functor conjecture of Fock and Goncharov. We conclude by explaining how the theory of $b$-Whittaker functions can be used to derive certain hyperbolic hypergeometric integral evaluations found by Rains.

研究动机与目标

• 从量子丛代数的角度，发展 $b$-Whittaker 函数的解析理论。
• 推导未变形 Whittaker 函数的模形式 $b$-类比 Givental 积分公式。
• 证明 $b$-Whittaker 变换的酉性，完成 Frenkel 与 Ip 关于 $U_q(\mathfrak{sl}_n)$ 的正表示张量积猜想的解析部分。
• 确立 $b$-Whittaker 函数是量子高阶 Teichmüller 理论中德恩扭转算子的本征向量。
• 推导经典积分恒等式（如连续 Cauchy–Littlewood 恒等式）的 $b$-类比，并将其与 Rains 的双曲超几何积分求值联系起来。

提出的方法

• 作者使用量子反向散射方法，为 $b$-Whittaker 函数获得了一个梅林–巴恩斯积分表示。
• 他们将模形式开放 Toda 系统的 Baxter 算子表示为一系列量子丛变换的序列。
• 他们利用量子丛代数的结构，推导出一个新的模形式 $b$-类比 Givental 积分公式。
• 他们应用积分形式的五边形恒等式，递归地计算多重 Whittaker 函数的积分。
• 他们利用平衡条件和 $\varphi$-函数的性质，简化 $\varphi$-函数的乘积，并推导出递推关系。
• 他们设定 $u = -v$，并依次利用五边形恒等式对变量进行积分，得到最终的求值公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地利用量子丛代数结构分析 $b$-Whittaker 函数？
• RQ2 未变形 Whittaker 函数的 Givental 积分公式的模形式 $b$-类比是什么？
• RQ3 $b$-Whittaker 函数如何与量子高阶 Teichmüller 理论中的德恩扭转算子相关联？
• RQ4 $b$-Whittaker 函数满足哪些经典积分恒等式（如 Cauchy–Littlewood）的 $b$-类比？
• RQ5 Rains 的双曲超几何积分求值能否从 $b$-Whittaker 函数理论中导出？

主要发现

• 证明了 $b$-Whittaker 变换 $\mathcal{W}$ 是 $L^2(\mathbb{R}^n)$ 与关于 Sklyanin 测度 $m(\boldsymbol{\lambda})$ 的对称 $L^2$ 函数空间之间的酉等价。
• $b$-Whittaker 函数被证明是量子高阶 Teichmüller 理论中德恩扭转算子的本征向量。
• 作者通过量子丛变换，推导出未变形 Whittaker 函数的新模形式 $b$-类比 Givental 积分公式。
• $b$-Whittaker 函数满足 Stade 与 Corwin–O’Connell–Seppäläinen–Zygouras 的连续 Cauchy–Littlewood 恒等式的 $b$-类比。
• 本文通过表示论方法，推导出 Rains 的双曲超几何积分求值。
• 通过五边形恒等式与 $\varphi$-函数恒等式推导出的递推关系，导出了在平衡条件下积分 $I_{n+1}(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}; u, v)$ 的闭式求值。