[论文解读] On bifurcation of solutions of the Yamabe problem in product manifolds

Levi Lopes de Lima, Paolo Piccione+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 1被引用 5

一句话总结

该论文将等变分歧理论应用于乘积流形上的Yamabe问题，证明在某些共形类中存在无穷多个非相似的常数量曲率度量。它为大多数参数值建立了局部刚性，并表明分歧发生在可数个极限点上，从而得出多重性结果，并为正数量曲率的爱因斯坦流形建立了新的唯一性定理。

ABSTRACT

We study local rigidity and multiplicity of constant scalar curvature metrics in arbitrary products of compact manifolds. Using (equivariant) bifurcation theory we determine the existence of infinitely many metrics that are accumulation points of pairwise non homothetic solutions of the Yamabe problem. Using local rigidity and some compactness results for solutions of the Yamabe problem, we also exhibit new examples of conformal classes (with positive Yamabe constant) for which uniqueness holds.

研究动机与目标

• 研究乘积流形上常数量曲率度量的多重性与刚性。
• 确定平凡的乘积度量族在何种条件下发生分歧。
• 为具有正数量曲率的紧致爱因斯坦流形乘积的共形类建立新的唯一性结果。
• 分析希尔伯特-爱因斯坦泛函在共形类中莫尔斯指数与二阶变分退化性的行为。
• 建立等变框架，以在莫尔斯指数未跳跃的退化时刻检测分歧。

提出的方法

• 利用希尔伯特-爱因斯坦泛函作为固定共形类中常数量曲率度量的变分框架。
• 将分歧理论应用于流形 $M_0 \times M_1$ 上的一族单参数乘积度量 $\mathbf{g}_\lambda = \mathbf{g}^{(0)} \oplus \lambda \mathbf{g}^{(1)}$。
• 应用斯莫勒与瓦瑟曼的抽象分歧定理，通过梯度算子结构与弗雷德霍姆性质将其适配到几何设定中。
• 利用 $G$-等变性，通过赫essian算子负特征子空间的非等价表示来检测分歧。
• 分析雅可比算子的谱行为，表明特征值单调但未必在退化点发生指数跳跃。
• 应用 [8, 12, 13] 中的紧致性结果，证明球面或正爱因斯坦流形乘积的共形类中具有唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，流形 $M_0 \times M_1$ 上平凡的乘积度量族会发生分歧，产生非相似的常数量曲率度量？
• RQ2 在二阶变分退化时刻，当莫尔斯指数未跳跃时，分歧是否可能发生？
• RQ3 参数 $\lambda$ 的集合结构如何，使得Yamabe问题在乘积流形上局部刚性失效？
• RQ4 在哪些共形类中，紧致正爱因斯坦流形乘积的常数量曲率度量具有唯一性？
• RQ5 如何利用等变分歧理论检测标准指数跳跃判据失效时的非平凡解分支？

主要发现

• 存在一个可数集 $\Lambda \subset \langle 0, \infty \rangle$，其在 $0$ 和 $\infty$ 处有极限点，使得在 $\Lambda$ 中除有限多个 $\lambda_* $ 外，所有点均发生分歧，从而产生不属于平凡族的非平凡常数量曲率度量分支。
• 对所有 $\lambda \in \langle 0, \infty \rangle \setminus \Lambda$，平凡族 $\mathbf{g}_\lambda$ 局部刚性成立：任何与某 $\mathbf{g}_\lambda$ 足够接近的 $\mathcal{C}^{2,\alpha}$ 常数量曲率度量均与某 $\mathbf{g}_\lambda$ 相似。
• 在 $\mathbf{g}_\lambda = \mathbf{g}^{(0)} \oplus \lambda \mathbf{g}^{(1)}$ 的共形类中，若 $\mathbf{g}^{(1)}$ 具有正数量曲率，则存在一个子集 $F \subset \langle 0,1 \rangle$，其在 $0$ 处有可数个极限点，使得对所有 $\lambda \in F$，至少存在三个不同的单位体积常数量曲率度量。
• 希尔伯特-爱因斯坦泛函二阶变分的莫尔斯指数在退化时刻 $\lambda_*$ 不一定跳跃，因为特征值可能相互补偿而不穿过零点。
• 当赫essian算子负特征子空间的 $G$-表示发生变化时，即使莫尔斯指数保持不变，分歧仍可保证发生。
• 由于紧致性与分歧分析，紧致正爱因斯坦流形乘积的共形类中，常数量曲率度量具有唯一性。