[论文解读] On C_2-cofiniteness of parafermion vertex operator algebras

Chongying Dong, Qing Wang|arXiv (Cornell University)|May 11, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用 6

一句话总结

该论文证明了对于任意仿射 Kac-Moody 代数 $\mathfrak{g}$，parafermion 顶点算子代数 $K(\mathfrak{g},k)$ 的 $C_2$-余有限性由 $K(sl_2,k)$ 的正则性所蕴含，从而证明了小水平时的 $C_2$-余有限性，并显式分类了非单连通类型 $B_l, C_l, F_4, G_2$ 的 $K(\mathfrak{g},1)$，包括其与已知有理 VOAs 的同构关系，如 $L(\frac{1}{2},0) \otimes L(\frac{7}{10},0)$ 和 $L(\frac{4}{5},0) \oplus L(\frac{4}{5},3)$。该结果在广泛条件下确认了这些 VOAs 的 $C_2$-余有限性与有限表示理论。

ABSTRACT

It is proved that the regularity of parafermion vertex operator algebras associated to integrable highest weight modules for affine Kac-Moody algebra A_1^{(1)} implies the C_2-cofiniteness of parafermion vertex operator algebras associated to integrable highest weight modules for any affine Kac-Moody algebra. In particular, the parafermion vertex operator algebra associated to an integrable highest weight module of small level for any affine Kac-Moody algebra is C_2-cofinite and has only finitely many irreducible modules. Also, the parafermion vertex operator algebras with level 1 are determined explicitly.

研究动机与目标

• 建立仿射 Kac-Moody 代数的可积最高权模的 parafermion 顶点算子代数 $K(\mathfrak{g},k)$ 的 $C_2$-余有限性。
• 确定 $K(\mathfrak{g},k)$ 在小水平 $k$ 时是否为 $C_2$-余有限且具有有限多个不可约模。
• 显式分类非单连通李代数 $\mathfrak{g}$（包括 $B_l, C_l, F_4, G_2$）的 $K(\mathfrak{g},1)$ 的结构。
• 证明这些类型下 $K(\mathfrak{g},1)$ 同构于类型 $A$ 在水平 2 或 3 的 parafermion VOAs。
• 确认当 $\mathfrak{g}$ 为 $ADE$ 型且 $k \leq 6$，或为 $G_2$ 型且 $k \leq 2$，或为 $B_l, C_l, F_4$ 型且 $k \leq 3$ 时，$K(\mathfrak{g},k)$ 为 $C_2$-余有限且具有有限表示理论。

提出的方法

• 利用文献 [11] 的生成结果：$K(\mathfrak{g},k)$ 由 $K(sl_2,k_\alpha)$ 生成，其中 $\alpha$ 为正根，$k_\alpha \in \{k,2k,3k\}$ 取决于 $\alpha$ 的长度。
• 利用单位表示中 Virasoro 代数的 Hermite 算子性质，分析 $K(\mathfrak{g},1)$ 的结构。
• 应用文献 [26] 的方法，在普通模的完备化中构造最大弱模，以辅助对 $K(\mathfrak{g},1)$ 的分类。
• 利用引理 4.3 的同构结果，将 $K(\mathfrak{g},1)$ 与 $K(A_{l-1},2)$（$C_l$ 型）、$K(A_2,2)$（$F_4$ 型）和 $K(A_1,3)$（$G_2$ 型）联系起来，从而将问题约化为已知的 VOAs。
• 通过分析中心电荷与整数权重约束，证明 $K(B_l,1)$ 必同构于 $L(\frac{1}{2},0)$，即 $L(\frac{1}{2},0)$ 的唯一扩展。
• 利用 $L(\frac{1}{2},0)$ 和 $L(\frac{7}{10},0)$ 的不可约模分类，确定 $K(A_2,2)$ 作为张量积直和的完整分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否 $K(sl_2,k)$ 的正则性能推出任意仿射 Kac-Moody 代数 $\mathfrak{g}$ 的 $K(\mathfrak{g},k)$ 的 $C_2$-余有限性？
• RQ2 在小水平 $k$ 时，$K(\mathfrak{g},k)$ 是否为 $C_2$-余有限且具有有限表示类型？
• RQ3 当 $\mathfrak{g}$ 为 $B_l, C_l, F_4, G_2$ 型时，$K(\mathfrak{g},1)$ 的显式结构是什么？
• RQ4 非单连通类型下的 parafermion VOAs $K(\mathfrak{g},1)$ 是否同构于已知的有理 VOAs，如 $K(A_n,m)$？
• RQ5 能否通过分解为已知有理 VOAs 的张量积，完全确定 $K(\mathfrak{g},1)$ 的表示理论？

主要发现

• 任意仿射 Kac-Moody 代数 $\mathfrak{g}$ 的 $K(\mathfrak{g},k)$ 的 $C_2$-余有限性由 $K(sl_2,k)$ 的正则性所蕴含，确立了一个关键的约化原理。
• 当 $\mathfrak{g}$ 为 $ADE$ 型且 $k \leq 6$，或为 $G_2$ 型且 $k \leq 2$，或为 $B_l, C_l, F_4$ 型且 $k \leq 3$ 时，parafermion VOA $K(\mathfrak{g},k)$ 为 $C_2$-余有限且具有有限多个不可约模。
• $K(B_l,1)$ 同构于 $L(\frac{1}{2},0)$，即由于整数权重约束而唯一的 $L(\frac{1}{2},0)$ 扩张。
• $K(C_l,1)$ 同构于 $K(A_{l-1},2)$，$K(F_4,1)$ 同构于 $K(A_2,2)$，均通过引理 4.3 中的同构关系实现。
• $K(A_2,2)$ 显式分解为 $L(\frac{1}{2},0) \otimes L(\frac{7}{10},0) \oplus L(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) \otimes L(\frac{7}{10},\frac{3}{2})$，证实其有理性和有限表示理论。
• $K(G_2,1)$ 同构于 $K(A_1,3)$，后者已知为有理 VOA 且同构于 $L(\frac{4}{5},0) \oplus L(\frac{4}{5},3)$，其不可约模已分类。