[论文解读] On character values and decomposition of the Weil representation associated to a finite abelian group

Amritanshu Prasad|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用 9

一句话总结

本文提出了一种关于有限阿贝尔群的韦伊表示的新代数方法，提供了霍华德关于特征绝对值公式的一个简化证明，并实现了表示到不可约分量的完整分解。对于奇数 $N$，本文明确描述了 $Sp_{2g}(\bZ/N\bZ)$ 的韦伊表示的分解，表明其按层级 $n-2r$ 递减分裂，且每个分量通过商映射与 $Sp_{2g}(\bZ/p^{n-2r}\bZ)$ 的韦伊表示等价。

ABSTRACT

We develop a simple algebraic approach to the study of the Weil representation associated to a finite abelian group. As a result, we obtain a simple proof of a generalisation of a well-known formula for the absolute value of its character. We also obtain a new result about its decomposition into irreducible representations. As an example, the decomposition of the Weil representation of Sp_{2g}(Z/NZ) is described for odd N.

研究动机与目标

• 开发一种更简单、更代数化的韦伊表示方法，适用于有限阿贝尔群。
• 以比霍华德原始证明更代数化和可推广的方式重新证明并推广其关于韦伊表示特征绝对值的公式。
• 确定韦伊表示到不可约分量的完整分解。
• 描述当 $N$ 为奇数时，$Sp_{2g}(\bZ/N\bZ)$ 的韦伊表示结构，包括其层级分解。

提出的方法

• 使用 $L^2(A)$ 上的外尔算子 $W_k = T_x M_\chi$ 定义有限阿贝尔群 $A$ 上的海森堡群 $G$。
• 应用施通-冯诺依曼-麦克凯定理，确立中心特征为平凡的不可约酉表示的唯一性。
• 将韦伊表示构造为固定其中心的海森堡群自同构群的项目表示。
• 利用自对偶互化基定理（定理 7.2）分析韦伊表示的分解。
• 利用 $L^2(A)$ 关于子空间 $U_{n-2r}^\pm$ 的直和结构，对 $A = (\bZ/p^n\bZ)^g$（$p$ 为奇素数）分解表示。
• 利用商映射 $q: SL_{2g}(\bZ/p^n\bZ) \to SL_{2g}(\bZ/p^{n-2r}\bZ)$，将 $U_{n-2r}^\pm$ 上的韦伊表示与低层级表示联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否以比霍华德原始证明更代数化和更通用的方法，重新证明韦伊表示的特征公式？
• RQ2 当 $N$ 为奇数时，$Sp_{2g}(\bZ/N\bZ)$ 的韦伊表示的完整不可约分量分解是什么？
• RQ3 韦伊表示的层级（定义为使得 $N_m$ 作用为数量算子的最大 $m$）在分解中如何表现？
• RQ4 $L^2((\bZ/p^n\bZ)^g)$ 上的韦伊表示与通过商映射到 $L^2((\bZ/p^{n-2r}\bZ)^g)$ 的韦伊表示之间存在何种关系？
• RQ5 是否可以对 $p$-进滤子的所有层级统一描述韦伊表示的分解？

主要发现

• 为任意奇数阶有限阿贝尔群的韦伊表示特征绝对值提供了一个新的简化证明。
• 明确描述了当 $N$ 为奇数时，$Sp_{2g}(\bZ/N\bZ)$ 的韦伊表示分解为 $L^2(A) = \bigoplus_{r=0}^{\lfloor n/2\rfloor} (U_{n-2r}^+ \oplus U_{n-2r}^-)$，其维数由包含 $p^{g(n-2r)}$ 的显式公式给出。
• 每个不可约分量 $U_{n-2r}^\pm$ 均携带一个层级为 $n-2r$ 的项目表示，即核 $N_{n-2r}$ 作用为数量算子。
• 韦伊表示在 $U_{n-2r}^\pm$ 上的限制，等价于通过商映射 $q: Sp_{2g}(\bZ/p^n\bZ) \to Sp_{2g}(\bZ/p^{n-2r}\bZ)$ 与 $Sp_{2g}(\bZ/p^{n-2r}\bZ)$ 的韦伊表示的复合。
• 通过展示 $N_{n-1}$ 中存在一个元素不作用为数量算子，证明了 $Sp_{2g}(\bZ/p^n\bZ)$ 的完整韦伊表示的层级为 $n$。
• 对于一般 $N$，$Sp_{2g}(\bZ/N\bZ)$ 的韦伊表示是 $N$ 的 $p$-初等分量上韦伊表示的张量积。