[论文解读] On completion of the cone of CP linear maps with respect to the energy-constrained diamond norm

M. E. Shirokov|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2018

Quantum Information and Cryptography参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文在由正算符 $G$（代表能量可观测量）诱导的能量约束钻石范数（ECD 范数）下，建立了完全正（CP）线性映射锥的完备性。证明了 CP 映射锥在该范数下的完备化恰好与使用 $\sqrt{G}$-无穷小算符的 Stinespring 类似表示的子锥一致，并将 Kretschmann-Schlingemann-Werner 定理推广至该设定。

ABSTRACT

For a given positive operator $G$ we consider the cones of linear maps between Banach spaces of trace class operators characterized by the Stinespring-like representation with $\sqrt{G}$-bounded and $\sqrt{G}$-infinitesimal operators correspondingly. We prove the completeness of both cones w.r.t. the energy-constrained diamond norm induced by $G$ (as an energy observable) and the coincidence of the second cone with the completion of the cone of CP linear maps w.r.t. this norm. We show that the sets of quantum channels and quantum operations are complete w.r.t. the energy-constrained diamond norm for any energy observable $G$. Some properties of the maps belonging to the introduced cones are described. In particular, the corresponding generalization of the Kretschmann-Schlingemann-Werner theorem is obtained. We also give a nonconstructive description of the completion of the set of all Hermitian-preserving completely bounded linear maps w.r.t. the ECD norm.

研究动机与目标

• 在由正算符 $G$ 诱导的能量约束钻石范数（ECD 范数）下，表征完全正（CP）线性映射锥的完备化。
• 定义并分析两个线性映射锥：$\mathfrak{F}_G(A,B)$（使用 $\sqrt{G}$-有界算符）与 $\mathfrak{F}_G^0(A,B)$（使用 $\sqrt{G}$-无穷小算符）。
• 证明在 ECD 范数下，CP 映射锥的完备化恰好为 $\mathfrak{F}_G^0(A,B)$，确保在物理能量约束下的拓扑闭包。
• 建立任意能量可观测量 $G$ 下，量子通道与量子操作集合在 ECD 范数下的完备性。
• 在 $G$ 的谱满足特定条件时，对厄米特保持完全有界映射空间在 ECD 范数下的完备化提供非构造性表征。

提出的方法

• 将能量约束钻石范数（ECD 范数）引入为迹类算符空间之间线性映射的度量，使用正算符 $G$ 作为能量可观测量。
• 定义两个锥：$\mathfrak{F}_G(A,B)$ 通过 $\sqrt{G}$-有界算符的 Stinespring 类似表示，$\mathfrak{F}_G^0(A,B)$ 通过 $\sqrt{G}$-无穷小算符表示。
• 利用算子范数估计与迹类空间中的收敛性论证，证明 $\mathfrak{F}_G(A,B)$ 与 $\mathfrak{F}_G^0(A,B)$ 在 ECD 范数下均为完备。
• 证明在 ECD 范数下，CP 映射锥的完备化恰好为 $\mathfrak{F}_G^0(A,B)$，表明后者是前者的拓扑闭包。
• 通过 Kraus 型表示与正定性条件，为 $\mathfrak{F}_G(A,B)$ 中的映射推导广义的 Kretschmann-Schlingemann-Werner 定理。
• 在 $G$ 具有有限重数的离散谱时，提供厄米特保持完全有界映射空间在 ECD 范数下完备化 $\mathfrak{Y}_G(A,B)$ 的非构造性描述，表明其正锥等于 $\mathfrak{F}_G^0(A,B)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在由正算符 $G$ 诱导的能量约束钻石范数下，完全正线性映射锥的完备化是什么？
• RQ2 锥 $\mathfrak{F}_G(A,B)$ 与 $\mathfrak{F}_G^0(A,B)$ 在 ECD 范数下与原始 CP 映射锥之间的关系如何？
• RQ3 广义的 Kretschmann-Schlingemann-Werner 定理能否推广至 $\mathfrak{F}_G(A,B)$ 中的映射？其对映射结构意味着什么？
• RQ4 对于任意能量可观测量 $G$，量子通道或量子操作的集合在 ECD 范数下是否完备？
• RQ5 在 ECD 范数下，厄米特保持完全有界映射空间的完备化结构如何？其正锥在何种条件下与 $\mathfrak{F}_G^0(A,B)$ 重合？

主要发现

• 在 $G$ 诱导的 ECD 范数下，使用 $\sqrt{G}$-有界 Stinespring 算符的线性映射锥 $\mathfrak{F}_G(A,B)$ 是完备的。
• 在 ECD 范数下，使用 $\sqrt{G}$-无穷小 Stinespring 算符的映射锥 $\mathfrak{F}_G^0(A,B)$ 是 CP 映射锥的完备化。
• 对于任意能量可观测量 $G$，量子通道与量子操作的集合在 ECD 范数下是完备的。
• 广义的 Kretschmann-Schlingemann-Werner 定理适用于 $\mathfrak{F}_G(A,B)$ 中的所有映射，通过块矩阵表示的正定性条件对其进行表征。
• 在 $G$ 具有有限重数的离散谱时，厄米特保持完全有界映射空间在 ECD 范数下的完备化 $\mathfrak{Y}_G(A,B)$ 的正锥等于 $\mathfrak{F}_G^0(A,B)$。
• 对于 $\mathfrak{Y}(A,B)$ 在 ECD 范数完备化下的任意映射 $\Phi$，有 $\|\Phi\|_{\diamond,E}^G = o(E)$ 当 $E \to \infty$，表明其在能量上呈次线性增长。