[论文解读] On computing the $2$-vertex-connected components of directed graphs

Raed Jaberi|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 7被引用 7

一句话总结

本文提出了两种计算有向图中2-顶点连通分量（2-vccs）的新算法：一种时间复杂度为O(nm)，另一种为O(mn²)，优于Erusulimskii和Svetlov算法的先前O(nm²)时间复杂度。此外，还提出了一个O(n³m)时间复杂度的3-vccs算法，以及一个O(mn²ᵏ⁻³)时间复杂度的k-vccs算法，并将其应用于寻找最小2-顶点连通生成子图的近似算法。

ABSTRACT

In this paper we consider the problem of computing the $2$-vertex-connected components ($2$-vccs) of directed graphs. We present two new algorithms for solving this problem. The first algorithm runs in $O(mn^{2})$ time, the second in $O(nm)$ time. Furthermore, we show that the old algorithm of Erusalimskii and Svetlov runs in $O(nm^{2})$ time. In this paper, we investigate the relationship between $2$-vccs and dominator trees. We also present an algorithm for computing the $3$-vertex-connected components ($3$-vccs) of a directed graph in $O(n^{3}m)$ time, and we show that the $k$-vertex-connected components ($k$-vccs) of a directed graph can be computed in $O(mn^{2k-3})$ time. Finally, we consider three applications of our new algorithms, which are approximation algorithms for problems that are generalization of the problem of approximating the smallest $2$-vertex-connected spanning subgraph of $2$-vertex-connected directed graph.

研究动机与目标

• 为有向图中的2-顶点连通分量（2-vccs）开发高效算法。
• 分析Erusulimskii和Svetlov此前未分析过的算法的运行时间，证明其时间复杂度为O(nm²)。
• 探讨有向图中2-vccs与支配树之间的关系。
• 将该方法推广至计算k≥3的k-顶点连通分量（k-vccs），并给出一般时间复杂度为O(mn²ᵏ⁻³)的上界。
• 将新算法应用于设计寻找有向图中最小2-顶点连通生成子图的近似算法。

提出的方法

• 提出一种新算法，通过首先计算给定顶点所属的2-vcc，实现O(mn²)时间复杂度内计算所有2-vccs。
• 设计第二种更高效的算法，利用顶点支配关系与网络流图性质的优化方法，实现O(nm)时间复杂度内计算所有2-vccs。
• 利用网络流图的支配树结构识别强割点，并指导分量分解。
• 应用粗化图的概念，将重叠的2-vccs收缩为超顶点，以简化近似问题。
• 在单个2-vcc上复用现有的k-顶点连通生成子图近似算法（如Cheriyan-Thurimella和Georgiadis算法），以构建全局近似解。
• 证明所有2-vcc大小之和的上界为3n，从而支持对近似界的有效分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 有向图的2-vccs能否在线性时间内计算？O(nm)是否为该问题的最佳时间复杂度？
• RQ2 Erusulimskii和Svetlov算法计算2-vccs的确切时间复杂度是多少？与新方法相比如何？
• RQ3 2-vccs与有向图中的支配树之间存在何种关系？该关系能否被用于高效计算？
• RQ4 能否将2-vccs算法推广至计算k≥3的k-vccs？此类推广的时间复杂度是多少？
• RQ5 新2-vccs算法能否用于设计改进的最小2-顶点连通生成子图近似算法？

主要发现

• Erusulimskii和Svetlov用于计算2-vccs的算法运行时间为O(nm²)，这是对该方法首次正式的时间复杂度分析。
• 一种新算法在O(mn²)时间内计算所有2-vccs，优于此前该问题的最佳时间复杂度。
• 第二种更高效的算法在O(nm)时间内计算所有2-vccs，达到该问题目前最优的时间复杂度。
• 计算3-vccs的算法时间复杂度为O(n³m)，而计算k-vccs的一般算法时间复杂度为O(mn²ᵏ⁻³)。
• 有向图中所有2-vcc大小之和的上界为3n，这支持了高效近似算法的设计。
• 开发了三种近似算法：在O(nm)时间内实现1.5-近似比的最小2-顶点连通生成子图算法；在O(nm)时间内实现5/3-近似比的强连通变体算法；在O(nm)时间内实现1.5-近似比的粗化图变体算法。