[论文解读] On conditional expectations of finite index

Michael Frank, Eberhard Kirchberg|ArXiv.org|Apr 15, 1998

Advanced Operator Algebra Research参考文献 27被引用 42

一句话总结

本文通过正性和完全正性，建立了C*-代数上条件期望存在有限指标的等价性，证明了 $K(E) \leq L(E) \leq K(E)\cdot[K(E)]$，其中 $[\cdot]$ 表示整数部分。该研究弥合了文献中的空白，统一了Pimsner-Popa、Watatani以及Baillet-Denizeau-Havet的方法，表明有限指标蕴含对相对交换子和W*-分解的结构控制。

ABSTRACT

For a conditional expectation E on a (unital) C*-algebra A there exists a real number K>=1 such that the mapping (K.E-id_A) is positive if and only if there exists a real number L>=1 such that the mapping (L.E-id_A) is completely positive, among other equivalent conditions. The estimate min(K) <= min(L) <= min(K).[min(K)] is valid, where [.] denotes the integer part of a real number. As a consequence the notion of a 'conditional expectation of finite index' is identified with that class of conditional expectations, which extends and completes results of M. Pimsner, S. Popa; M. Baillet, Y. Denizeau, J.-F. Havet; Y. Watatani, and others. Situations for which the index value and the Jones' tower exist are described in the general setting. In particular, the Jones' tower always exists in the W*-case and for Ind(E) in E(A) in the C*-case. Furthermore, normal conditional expectations of finite index commute with the general W*-projections to their finite, infinite, discrete and continuous type I, type II_1, type II_\infty and type III parts, i.e. the respective projections in the centers of the initial and the image W*-algebra coincide. We give an interpretation of our result in terms of non-commutative topology and indicate some dimension estimation formulae and an inequality.

研究动机与目标

• 为解决在定义C*-代数上条件期望的有限指标时，正性与完全正性之间的空白。
• 统一并扩展Pimsner-Popa、Watatani以及Baillet-Denizeau-Havet关于有限指标条件期望的框架。
• 建立最小的 $K$ 满足 $K\cdot E - \mathrm{id}_A$ 为正，其控制相对交换子和W*-分解的结构。
• 证明有限指标的正规条件期望保持W*-代数的标准类型（I型、II型、III型）。
• 证明有限指标蕴含 $K(E) \in \{1\} \cup [2,\infty)$，且 $K(E) = 1$ 当且仅当 $E = \mathrm{id}_A$。

提出的方法

• 定义 $K(E) = \inf\{K \geq 1 : K\cdot E - \mathrm{id}_A \text{ 是正的}\}$ 与 $L(E) = \inf\{L \geq 1 : L\cdot E - \mathrm{id}_A \text{ 是完全正的}\}$。
• 证明以下三个条件等价：(i) $K(E) < \infty$，(ii) $L(E) < \infty$，(iii) $E$ 在Pimsner-Popa意义下具有有限指标。
• 利用Kadison关于正映射的定理，推导出对自伴元 $a$ 有不等式 $0 \leq (E(a) - a)^2 \leq (K(E) - 1)(E(a^2) - E(a)^2)$。
• 应用C*-代数与希尔伯特C*-模的结构理论，证明当 $K(E) < \infty$ 时，$A$ 是 $B$ 的有限生成模。
• 分析中心与相对交换子 $N' \cap M$，推导出不等式 $\dim(N' \cap M) \leq [K(E)]^2 \cdot \dim(\mathrm{Z}(N))$。
• 利用极大交换C*-子代数与投影的谱性质，推导出维数估计：$\dim(M) \leq [K(E)]^2 \cdot \dim(N)^2$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在定义C*-代数上条件期望的有限指标时，映射 $K\cdot E - \mathrm{id}_A$ 的正性与完全正性之间存在何种精确关系？
• RQ2 使得 $K\cdot E - \mathrm{id}_A$ 为正的最小 $K(E)$ 与使得 $L\cdot E - \mathrm{id}_A$ 为完全正的最小 $L(E)$ 之间存在何种关系？
• RQ3 在C*-代数设定下，琼斯塔在何种条件下存在，特别是当 $\mathrm{Ind}(E) \in E(A)$ 时？
• RQ4 有限指标的正规条件期望如何与W*-代数的标准分解（I型、II型、III型）相互作用？
• RQ5 有限指标对相对交换子 $N' \cap M$ 以及 $M$ 和 $N$ 的中心施加了何种结构约束？

主要发现

• 最小值 $K(E)$ 与 $L(E)$ 满足 $K(E) \leq L(E) \leq K(E) \cdot [K(E)]$，其中 $[\cdot]$ 表示整数部分。
• 存在有限的 $K(E)$ 使得 $K(E)\cdot E - \mathrm{id}_A$ 为正，意味着 $\dim(N' \cap M) \leq [K(E)]^2 \cdot \dim(\mathrm{Z}(N))$。
• 当 $N$ 为有限维时，有 $\dim(M) \leq [K(E)]^2 \cdot \dim(N)^2$；若 $M$ 与 $N$ 为交换代数，则 $\dim(M) \leq K(E) \cdot \dim(N)$。
• 对所有自伴元 $a \in A$，不等式 $0 \leq (E(a) - a)^2 \leq (K(E) - 1)(E(a^2) - E(a)^2)$ 成立，且等式成立当且仅当 $E(a) = a$。
• 投影 $p \in A$ 满足 $E(p) = p$ 当且仅当 $p \in B$；否则 $E(p)$ 的谱值属于 $]0,1[$。
• $K(E) = 1$ 当且仅当 $E = \mathrm{id}_A$，且 $K(E) \in \{1\} \cup [2,\infty)$，其中 $[2,\infty)$ 中的所有值均可由例子实现。