[论文解读] On conformal maps from lemniscatic domains onto multiply-connected domains

Olivier Sète, Jörg Liesen|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2015

Analytic and geometric function theory参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文通过利用多项式原像和黎曼映射，构造从双曲型区域到多连通区域的共形映射，将黎曼映射定理推广至多连通区域。关键贡献是为沃尔什的共形映射提供了一种构造性方法，并给出了径向裂口域和圆域的显式例子。

ABSTRACT

We study conformal maps from multiply connected domains in the extended complex plane onto lemniscatic domains. Walsh proved the existence of such maps in 1956 and thus obtained a direct generalization of the Riemann mapping theorem to multiply connected domains. For polynomial pre-images of simply connected sets we derive a construction principle for Walsh's conformal map in terms of the Riemann map for the simply connected set. Moreover, we explicitly construct examples of Walsh's conformal map for certain radial slit domains and circular domains.

研究动机与目标

• 通过将共形映射映射到双曲型区域，将黎曼映射定理推广至多连通区域。
• 利用单连通集的黎曼映射，为沃尔什的共形映射提供一种构造性方法。
• 在该框架下，显式推导出径向裂口域和圆域等特定类多连通区域的共形映射。
• 基于单连通集的多项式原像，建立构造此类映射的一般原则。

提出的方法

• 利用单连通集的多项式原像，将双曲型区域定义为共形映射的目标区域。
• 对单连通集应用黎曼映射定理，以构造基础共形映射。
• 将黎曼映射与多项式映射结合，生成映射到多连通双曲型区域的完整共形映射。
• 利用径向裂口域和圆域的对称性与几何性质，简化构造过程。
• 通过求解适当的多项式根和映射参数，推导出共形映射的显式公式。
• 通过共形映射的已知性质和双曲型区域的几何特性验证构造的正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用双曲型区域作为目标，将黎曼映射定理推广至多连通区域？
• RQ2 如何利用多项式原像，建立从双曲型区域到多连通区域的共形映射的构造原则？
• RQ3 在此框架下，如何显式推导出径向裂口域和圆域的共形映射？
• RQ4 单连通集的黎曼映射在构造完整共形映射中起到什么作用？
• RQ5 在多连通情形下，哪些几何与解析条件能保证此类映射的存在性与共形性？

主要发现

• 基于单连通集的多项式原像，建立了从双曲型区域到多连通区域的共形映射的一般构造原则。
• 通过利用对称性和已知的黎曼映射解，该方法显式构造了径向裂口域的共形映射。
• 通过相同的多项式原像框架，推导出了圆域的显式共形映射。
• 该构造证实了沃尔什1956年定理中关于此类共形映射存在的断言，且现为可构造的。
• 该方法提供了一种系统化方式，用于生成共形映射，无需依赖迭代或数值逼近方法。
• 结果表明，对于特定几何构型，从双曲型区域到多连通区域的共形映射可表示为闭式表达。