[论文解读] On de Sitter Invariant Special Relativity and Cosmological Constant as Origin of Inertia

Han-Ying Guo, Chao-Guang Huang+3 more|ArXiv.org|May 15, 2004

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 3被引用 10

一句话总结

本文提出 de Sitter 不变的特殊相对论（dS-SR），包含两个普适常数：光速 $c$ 和长度尺度 $R$，其中惯性源于宇宙学常数 $Λ$，通过 $R^2 = 3/Λ$ 关联。利用嵌入在五维闵氏空间中的曲面时空模型的贝尔特拉米坐标，表明匀速惯性运动对应于五维嵌入空间中的大圆运动，统一了相对性原理与宇宙学原理，并预测在宇宙尺度下三维空间呈轻微正曲率。

ABSTRACT

Weakening the Euclidean assumption in special relativity and the coordinate-independence hypothesis in general relativity for the de Sitter space, we propose a de Sitter invariant special relativity with two universal constants of speed $c$ and length $R$ based on the principle of relativity and the postulate of universal constants $c$ and $R$ on de Sitter space with Beltrami metric. We also propose a postulate on the origin of the inertial motions and inertial systems as a base of the principle of relativity. We show that the Beltrami-de Sitter space provides such a model that the origin of inertia should be determined by the cosmological constant $Λ$ if the length $R$ is linked with $Λ$. In addition, via the `gnomonic' projection the uniform straight-line motion on Beltrami-de Sitter space is linked with the uniform motion along a great `circle' on de Sitter space embedded in 5-d Minkowski space.

研究动机与目标

• 解决 de Sitter（dS）时空中原有相对性原理与宇宙学原理之间的基础性矛盾。
• 通过将惯性的起源与宇宙学常数 $Λ$ 联系起来，而非遥远物质，解决惯性起源的开放性问题。
• 在保留相对性原理的前提下，将特殊相对论推广至具有两个普适常数 $c$ 和 $R$ 的 de Sitter 不变时空。
• 在渐近 de Sitter 时空下，构建惯性运动与同时性的一致性框架，与宇宙观测相容。
• 表明宇宙学常数 $Λ$ 在 de Sitter-SR 中自然地以基本原理形式出现，而不同于标准广义相对论中的情形。

提出的方法

• 提出一种基于相对性原理和两个普适常数（光速 $c$ 与与 $Λ$ 相关的长度尺度 $R$）的新特殊相对论框架 dS-SR。
• 在五维闵氏空间中嵌入的四维双曲面使用贝尔特拉米-de Sitter（BdS）度规来建模具有恒定曲率的 de Sitter 时空。
• 将惯性运动定义为贝尔特拉米坐标系下的匀速直线运动，其在五维嵌入空间中对应于测地线（大圆）运动。
• 引入两种同时性约定：一种用于局部实验室实验，另一种用于宇宙学观测，二者通过贝尔特拉米时间 $x^0 = ct$ 与宇宙时间 $\tau$ 相关联。
• 建立贝尔特拉米度规与弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克（FRW）型度规之间的对偶性，实现局部尺度与宇宙尺度之间的一致性过渡。
• 推导广义的能量-动量关系，并以 de Sitter 不变的方式对惯性质量和自旋进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 惯性的起源能否一致地与宇宙学常数 $Λ$ 联系起来，而非遥远物质或局部几何？
• RQ2 如何在保留相对性原理的同时，将特殊相对论推广至 de Sitter 时空，并引入一个新的普适长度尺度 $R$？
• RQ3 宇宙学常数 $Λ$ 在定义弯曲时空中的惯性系与惯性运动时，其几何与动力学角色是什么？
• RQ4 贝尔特拉米坐标系在 BdS 空间中如何实现惯性运动为直线？其与五维嵌入空间中的大圆运动有何关系？
• RQ5 在渐近 de Sitter 时空下，能否为局部实验与宇宙学观测同时定义一致的同时性概念？

主要发现

• 当 $R^2 = 3/\Lambda$ 时，证明宇宙学常数 $\Lambda$ 是 de Sitter 时空中惯性的根本起源，从而将相对性原理与宇宙学原理统一起来。
• 贝尔特拉米-de Sitter（BdS）空间提供了一个 de Sitter 不变的模型，其中惯性运动在贝尔特拉米坐标下表现为匀速直线运动，等价于五维闵氏嵌入空间中的大圆运动。
• 该模型预测，宇宙的三维空间截面在 $Λ$ 的量级下呈轻微正曲率，与 WMAP 数据（$\Omega_T = 1.02 \pm 0.02$）一致。
• 定义了两种不同的同时性约定：一种用于局部实验，一种用于宇宙学观测，二者通过变换 $x^0 = ct$ 与 $\tau$ 相关联。
• 在 $\Lambda \to 0$ 的极限下，dS-SR 中的广义能量-动量关系退化为爱因斯坦公式，从而恢复标准特殊相对论。
• 该框架允许对惯性质量与自旋进行 de Sitter 不变的分类，并支持存在三种等价有效的特殊相对论理论：$\mathcal{SR}_{c,\Lambda>0}$、$\mathcal{SR}_{c,\Lambda=0}$ 与 $\mathcal{SR}_{c,\Lambda<0}$，其中前者最符合我们当前加速膨胀的宇宙。