[论文解读] On determinants of random symmetric matrices over Z_m

Richard P. Brent, Brendan D. McKay|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2010

Random Matrices and Applications参考文献 1被引用 6

一句话总结

本文通过对称高斯消元法和递推关系，推导出在 $\mathbb{Z}_m$ 上随机 $n \times n$ 对称矩阵的行列式被 $m$ 整除的概率的显式公式。主要贡献是得到了 $Q(n, p^\mu)$ 的闭式解，即模 $p^\mu$ 下行列式为零的概率，其依赖于 $p$、$\mu$ 和 $n$，并以 $q = 1/p$ 和 $q$-Pochhammer 符号的无穷乘积形式表达。

ABSTRACT

We determine the probability that a random n x n symmetric matrix over {1, 2, ... , m} has determinant divisible by m.

研究动机与目标

• 确定随机 $n \times n$ 对称矩阵在 $\mathbb{Z}_m$ 上行列式被 $m$ 整除的概率 $Q(n, m)$。
• 通过引入对称性约束和模素数幂的算术运算，扩展先前关于随机矩阵的研究。
• 为模 $p^\mu$ 下奇异行列式的概率 $Q(n, p^\mu)$ 推导出闭式表达式。
• 分析 $P(n, p^\mu)$（即满 $m$-秩的概率）随 $n$ 增大时的渐近行为和单调性。

提出的方法

• 在 $\mathbb{Z}_{p^\mu}$ 上使用对称高斯消元法，以在行与列变换过程中保持矩阵的对称性。
• 基于模 $p$ 和 $p^2$ 下主元项的五种情况，建立 $P(n, p^\mu)$ 的五项递推关系。
• 利用代数恒等式和生成函数，将五项递推关系约化为三项递推关系。
• 通过 $q$-Pochhammer 符号 $\Pi_n(q) = \prod_{j=1}^n (1 - q^j)$ 以及辅助函数 $T_1(k,s)$ 和 $T_3(k,s)$，显式求解三项递推关系。
• 利用可约去冗余项的恒等式，推导出 $Q(n, p^\mu) = 1 - P(n, p^\mu)$ 的数值稳定表达式。
• 通过误差项的界分析，证明 $R = O(q^{3\mu/2})$，从而支持概率的渐近分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机对称 $n \times n$ 矩阵在 $\mathbb{Z}_m$ 上行列式被 $m$ 整除的精确概率是多少？
• RQ2 模 $p^\mu$ 下行列式可被整除的概率如何依赖于 $n$、$p$ 和 $\mu$？
• RQ3 $P(n, p^\mu)$ 的递推关系能否约化为三项形式？能否显式求解？
• RQ4 当 $n \to \infty$ 时，$Q(n, p^\mu)$ 的极限行为如何？
• RQ5 模 $p^\mu$ 下非零行列式值的概率如何依赖于 $d$ 的取值？

主要发现

• 在 $\mathbb{Z}_{p^\mu}$ 上随机对称 $n \times n$ 矩阵的行列式被 $p^\mu$ 整除的概率 $Q(n, p^\mu)$ 由公式 $Q(n, p^\mu) = \frac{q^\mu(1 - q^n) - R}{1 - q}$ 给出，其中 $R$ 是一个有界于 $O(q^{3\mu/2})$ 的修正项。
• 对 $P(n, p^\mu)$ 的显式解为 $P(n, p^\mu) = \frac{\Pi_{2k}(q)}{(1 - q)\Pi_k(q^2)} \left( (1 - q^{2k+1})T_3(k,s) - q^\mu(1 - q^n)T_1(k,s) \right)$，其中 $k = \lfloor n/2 \rfloor$，$s = \lfloor(\mu - 1)/2\rfloor$，且 $q = 1/p$。
• $P(n, p^\mu)$ 关于 $n$ 非增，关于 $\mu$ 非减，因此 $\lim_{n \to \infty} Q(n, p^\mu)$ 存在，且取值范围为 $[q^\mu, q^\mu / (1 - q)]$。
• 当 $n$ 较大时，极限概率 $\lim_{n \to \infty} Q(n, p^\mu)$ 可表示为 $\left(q^\mu - \frac{\Pi_\infty(q)}{\Pi_\infty(q^2)} \sum_{j=s+1}^\infty \frac{q^{\mu+j} - q^{3j}}{\Pi_j(q^2)} \right) / (1 - q)$。
• 当 $\mu = 1$ 时，$\det(A) \equiv d \pmod{p^\mu}$（$d \neq 0$）的概率依赖于 $d$，其公式涉及勒让德符号和 $q$-乘积。
• 该递推与解对所有 $n \geq 1$、$\mu \geq 1$ 有效，且结果将 $\mu = 1$ 时已知的公式推广至更高阶素数幂。