[论文解读] On dibaric and evolution algebras

M. Ladra, B. A. Omirov+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2011

Advanced Topics in Algebra参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文通过引入 bq-同态（线性泛函对）来发展双巴里代数（dibaric algebras）的理论——即没有非零同态映射到 ℝ 的非结合代数——并建立代数为双巴里代数当且仅当其存在非零 bq-同态。关键贡献在于将该框架应用于有性别的种群演化代数，刻画了此类代数何时为保守型或由线性算子诱导，并通过亲代遗传系数推导出代数同态的条件。

ABSTRACT

We find conditions on ideals of an algebra under which the algebra is dibaric. Dibaric algebras have not non-zero homomorphisms to the set of the real numbers. We introduce a concept of bq-homomorphism (which is given by two linear maps $f, g$ of the algebra to the set of the real numbers) and show that an algebra is dibaric if and only if it admits a non-zero bq-homomorphism. Using the pair $(f,g)$ we define conservative algebras and establish criteria for a dibaric algebra to be conservative. Moreover, the notions of a Bernstein algebra and an algebra induced by a linear operator are introduced and relations between these algebras are studied. For dibaric algebras we describe a dibaric algebra homomorphism and study their properties by bq-homomorphisms of the dibaric algebras. We apply the results to the (dibaric) evolution algebra of a bisexual population. For this dibaric algebra we describe all possible bq-homomorphisms and find conditions under which the algebra of a bisexual population is induced by a linear operator. Moreover, some properties of dibaric algebra homomorphisms of such algebras are studied.

研究动机与目标

• 通过 bq-同态刻画双巴里代数，推广巴里代数的概念。
• 研究具有性连锁遗传的有性别种群模型的演化代数结构。
• 确定此类演化代数何时为保守型或由线性算子诱导。
• 分析有性别种群演化代数之间的代数同态。
• 将该理论应用于种群生物学中的遗传模型，特别是在非巴里代数（non-baric algebras）由有性繁殖产生的情境下。

提出的方法

• 引入 bq-同态的概念，即从代数到 ℝ 的一对线性映射 (f, g)，作为映射到 ℝ 的同态的推广。
• 证明一个代数是双巴里代数当且仅当其存在非零 bq-同态。
• 将保守代数定义为满足对所有 x 都有 f(x) = g(x) 的代数，并推导双巴里代数为保守型的判别准则。
• 将该理论应用于有性别的种群演化代数（EABP），其定义基于女性后代的遗传系数 P_{ik,j}^{(f)} 和男性后代的遗传系数 P_{ik,l}^{(m)}。
• 使用基 {e_i^{(f)}, e_j^{(m)}} 表示代数运算，并定义线性泛函 X(z) = 女性系数之和，Y(z) = 男性系数之和。
• 推导出 EABP 由线性算子 A 诱导的条件，即 A(z) = 2z e_1^{(f)}，该条件成立当且仅当对所有 i=1,…,n 和 j=1,…,ν，都有 e_i^{(f)} e_j^{(m)} = e_1^{(f)} e_j^{(m)}。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下双巴里代数会存在非零 bq-同态？这如何刻画双巴里代数的结构？
• RQ2 在什么条件下双巴里代数是保守型的？泛函 f 和 g 在此刻画中起什么作用？
• RQ3 在什么条件下有性别的种群演化代数由线性算子诱导？
• RQ4 两个 EABP 代数之间线性映射成为同态的充要条件是什么？
• RQ5 遗传系数 P_{ik,j}^{(f)} 和 P_{ik,l}^{(m)} 如何决定 EABP 代数的代数结构与同态性质？

主要发现

• 一个代数是双巴里代数当且仅当其存在非零 bq-同态 (f, g)，其中 f 和 g 是到 ℝ 的线性泛函。
• 双巴里代数是保守型当且仅当对代数中所有 x 都有 f(x) = g(x)，这成立当且仅当泛函 f 和 g 在整个代数上相等。
• 有性别的种群演化代数由线性算子 A 诱导当且仅当对所有 i=1,…,n 和 j=1,…,ν，都有 e_i^{(f)} e_j^{(m)} = e_1^{(f)} e_j^{(m)}。
• 对于此类诱导代数，算子由 A(z) = 2z e_1^{(f)} 对所有 z 在代数中给出。
• 两个 EABP 代数之间的同态 h 满足：对所有 i,j，有 X(h(e_i^{(f)})) = 1，X(h(e_j^{(m)})) = 0，Y(h(e_i^{(f)})) = 0，Y(h(e_j^{(m)})) = 1。
• 两个 EABP 代数之间存在非零同态的条件取决于遗传系数与同态公理导出的泛函约束的一致性。