[论文解读] On Disjoint Holes in Point Sets

Manfred Scheucher|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 2

一句话总结

本文使用计算方法证明，在平面上任意处于一般位置的17个点的集合中，必然包含两个不相交的5-hole（即凸五边形，其凸包内部不包含其他点）。此外，研究还表明15个点可保证存在两个内部不相交的5-hole，并且与以往方法相比，显著减少了验证17点集中6-边形存在的计算时间。

ABSTRACT

Given a set of points $S \subseteq \mathbb{R}^2$, a subset $X \subseteq S$, $|X|=k$, is called $k$-gon if all points of $X$ lie on the boundary of the convex hull $\mathrm{conv} (X)$, and $k$-hole if, in addition, no point of $S \setminus X$ lies in $\mathrm{conv} (X)$. We use computer assistance to show that every set of 17 points in general position admits two disjoint 5-holes, that is, holes with disjoint respective convex hulls. This answers a question of Hosono and Urabe (2001). We also provide new bounds for three and more pairwise disjoint holes. In a recent article, Hosono and Urabe (2018) present new results on interior-disjoint holes -- a variant, which also has been investigated in the last two decades. Using our program, we show that every set of 15 points contains two interior-disjoint 5-holes. Moreover, our program can be used to verify that every set of 17 points contains a 6-gon within significantly smaller computation time than the original program by Szekeres and Peters (2006).

研究动机与目标

• 解决Hosono和Urabe（2001年）提出的长期悬而未决的问题：在17点集是否存在两个不相交的5-hole。
• 扩展对点集中不相交与内部不相交孔的理解，特别是针对k ≥ 5的情况。
• 开发并应用一种计算框架，以高效验证组合几何构型。
• 改进现有方法在验证点集中大凸多边形存在性方面的计算时间。

提出的方法

• 作者采用计算机辅助方法，系统地枚举并验证一般位置下点的构型。
• 他们使用算法搜索来验证k = 5和k = 6时的不相交与内部不相交k-hole的存在性。
• 该方法依赖于几何约束：k-hole要求所有k个点都在凸包上，且集合中其他点不能位于其凸包内部。
• 程序经过优化以减少计算开销，从而在验证17点集中6-gon的存在性方面，相比Szekeres-Peters（2006年）算法实现更快。
• 该框架被调整以测试标准不相交孔及Hosono和Urabe（2018年）研究的内部不相交孔变体。
• 实现中利用对称性约简和剪枝技术，在不损失完备性的前提下缩小了搜索空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个处于一般位置的17点集是否都包含两个不相交的5-hole？
• RQ2 每个处于一般位置的15点集是否都能保证包含两个内部不相交的5-hole？
• RQ3 使用所提方法验证17点集中6-gon存在的计算效率如何？
• RQ4 新程序在检测6-gon方面与Szekeres-Peters（2006年）算法相比性能如何？
• RQ5 点集中存在三个或更多两两不相交孔的最紧已知界限是什么？

主要发现

• 每个处于一般位置的17点集都至少包含两个不相交的5-hole，证实了Hosono和Urabe（2001年）的猜想。
• 每个处于一般位置的15点集都至少包含两个内部不相交的5-hole，扩展了对孔问题变体的研究结果。
• 所提程序在验证17点集中6-gon存在性方面，相比原始Szekeres-Peters（2006年）实现，计算时间显著减少。
• 通过利用几何约束和算法优化，该方法实现了对凸多边形存在性的高效验证。
• 该程序提供了一个可扩展的框架，用于测试点集中组合构型，适用于标准和内部不相交孔的变体。
• 研究结果为多个不相交孔的存在性建立了更紧的界限，推动了计算几何中极值问题的理解。