[论文解读] On Dynamic Coloring of Graphs

Meysam Alishahi|ArXiv.org|Aug 18, 2009

Advanced Graph Theory Research参考文献 8被引用 5

一句话总结

该论文为k-正则图的动态色数建立了上界，表明存在常数c使得χd(G) ≤ χ(G) + c ln k + 1，并证明了正则图的动态列表色数不超过Δ + 1。此外，论文将动态染色与总支配集和双总支配集联系起来，表明具有此类集合的图其动态色数至多为其色数的两倍。

ABSTRACT

A dynamic coloring of a graph $G$ is a proper coloring such that for every vertex $v\in V(G)$ of degree at least 2, the neighbors of $v$ receive at least 2 colors. In this paper we present some upper bounds for the dynamic chromatic number of graphs. In this regard, we shall show that there is a constant $c$ such that for every $k$-regular graph $G$, $χ_d(G)\leq χ(G)+ c\ln k +1$. Also, we introduce an upper bound for the dynamic list chromatic number of regular graphs.

研究动机与目标

• 建立以χ(G)和k表示的k-正则图动态色数χd(G)的上界。
• 研究图中动态染色与总支配集/双总支配集之间的关系。
• 证明正则图的动态列表色数不超过Δ + 1。
• 验证特定图类（包括Kneser图和在特定条件下k-临界图）的猜想1（χd(G) − χ(G) ≤ 2）。

提出的方法

• 使用随机子集构造法：对k-正则图G，从V(G)中独立地以概率p = c′ ln k / k随机选取子集T ⊆ V(G)。
• 应用Chernoff不等式控制T中邻居数的集中性，确保对每个顶点v，degT(v)以高概率接近c′ ln k。
• 应用Lovász局部引理证明存在子集T，使得每个顶点在T中至少有一个邻居且在V(G)\T中也至少有一个邻居，从而构成双总支配集。
• 利用超图2-可染色性：在T上构造超图H，其超边定义为u ∈ V(G)时的N(u) ∩ T，并在特定度条件下方证明H是2-可染色的。
• 组合染色：通过将G[T]的正常染色与超图H的2-染色组合构造动态染色，并使用未使用的颜色将染色扩展至V(G)\T。
• 应用概率方法与极值图论，证明当eΔ² ≤ 2^{δ−1}时，双总支配集存在，从而推出χd(G) ≤ 2χ(G)。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否以χ(G)和k表示k-正则图的动态色数的上界？
• RQ2 正则图的动态色数是否如猜想所述，与色数之差至多为2？
• RQ3 总支配集或双总支配集的存在性与动态色数之间存在何种关系？
• RQ4 正则图的动态列表色数与最大度之间有何关系？
• RQ5 对于Kneser图KG(m,n)，当m < 3n且图是无三角形时，关于χd(G)可得出什么结论？

主要发现

• 对任意k-正则图G，存在常数c使得χd(G) ≤ χ(G) + c ln k + 1。
• k-正则图的动态列表色数至多为Δ + 1，且当Δ ≥ 4时该界是紧的。
• 对固定0 < p < 1的G(n,p中几乎所有图，有χd(G) = χ(G)，因为每个顶点几乎必然位于一个三角形中。
• 若图G具有双总支配集T，则χd(G) ≤ χ(G[V\T]) + χ(G[T])，特别地χd(G) ≤ 2χ(G)。
• 对满足m = 2n + t < 3n的Kneser图KG(m,n)，有χd(KG(m,n)) ≤ χ(KG(m,n)) + 2，从而证实了该类图的猜想1。
• 对满足eΔ² ≤ 2^{δ−1}的k-临界图，有χd(G) ≤ 2k − 2，该条件亦推出χd(G) ≤ 2χ(G)。