[论文解读] On eccentric connectivity index

Bo Zhou, Zhibin Du|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2010

Graph theory and applications参考文献 23被引用 82

一句话总结

本文研究了偏心连接指数（ECI）的数学性质，ECI 是定量构效关系（QSAR）建模中使用的拓扑指数。本文基于图不变量建立了 ECI 的上下界，并针对各种结构参数，确定了在 n 个顶点的树中 ECI 的极值情况，精确刻画了在不同约束条件下 ECI 最小和最大值的树结构。

ABSTRACT

The eccentric connectivity index, proposed by Sharma, Goswami and Madan, has been employed successfully for the development of numerous mathematical models for the prediction of biological activities of diverse nature. We now report mathematical properties of the eccentric connectivity index. We establish various lower and upper bounds for the eccentric connectivity index in terms of other graph invariants including the number of vertices, the number of edges, the degree distance and the first Zagreb index. We determine the n-vertex trees of diameter with the minimum eccentric connectivity index, and the n-vertex trees of pendent vertices, with the maximum eccentric connectivity index. We also determine the n-vertex trees with respectively the minimum, second-minimum and third-minimum, and the maximum, second-maximum and third-maximum eccentric connectivity indices for

研究动机与目标

• 分析用于 QSAR 建模的偏心连接指数（ECI）的数学结构与性质。
• 基于顶点数、边数、度距离和第一 Zagrreb 指数等基本图不变量，建立 ECI 的紧致下界和上界。
• 在特定结构约束（如直径和叶顶点数）下，确定使 ECI 最小和最大的 n 个顶点的树。
• 表征所有 n 个顶点的树中，前三个最小和前三个最大 ECI 值的极值树。

提出的方法

• 使用组合与图论技术推导偏心连接指数的解析上下界。
• 应用极值图论，识别在给定约束下实现最小和最大 ECI 的 n 个顶点的树。
• 利用度距离和第一 Zagrreb 指数作为辅助不变量，表达 ECI 的界。
• 基于直径和叶顶点数对树进行结构分析，以分类极值构型。
• 枚举并表征前三个 ECI 最小和最大的树。
• 利用已知不等式和图恒等式，推导出紧致的界和极值结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于标准图不变量，ECI 的最紧致下界和上界是什么？
• RQ2 在给定直径的 n 个顶点的树中，哪些树实现最小和最大的偏心连接指数？
• RQ3 在指定叶顶点数的 n 个顶点的树中，哪些树具有 ECI 的极值？
• RQ4 哪些 n 个顶点的树具有最小、第二小和第三小的偏心连接指数？
• RQ5 度距离和第一 Zagrreb 指数如何与偏心连接指数的极值行为相关？

主要发现

• 偏心连接指数的上下界由顶点数、边数、度距离和第一 Zagrreb 指数的表达式确定。
• 在给定直径的 n 个顶点的树中，偏心度分布最均衡的树实现最小的 ECI。
• 具有最多叶顶点的 n 个顶点的树实现最大的偏心连接指数。
• ECI 最小的 n 个顶点的树被表征为：具有中心路径，且叶顶点连接到中心顶点的树。
• 第二和第三小的 ECI 值的树通过顶点偏心度和度分布的结构约束被识别。
• 对于所有 n ≥ 4，ECI 最大、第二大和第三大的极值树均被显式构造并表征。