[论文解读] On Elliptic Systems involving critical Hardy-Sobolev exponents

Xuexiu Zhong, Wenming Zou|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文利用变分法研究了具有多个临界 Hardy-Sobolev 指标的椭圆系统，在圆锥形区域和一般开集上建立了解的存在性、多重性、唯一性和非存在性。主要贡献在于推导出一类涉及加权 $ L^{2^*(s)} $ 范数与梯度能量的双变量不等式的最佳常数及其极值函数，并将其应用于基态解和变号解的研究。

ABSTRACT

Let $Ω\subset \R^N$ ($N\geq 3$) be an open domain which is not necessarily bounded. By using variational methods, we consider the following elliptic systems involving multiple Hardy-Sobolev critical exponents: $$\begin{cases} -Δu-λ\frac{|u|^{2^*(s_1)-2}u}{|x|^{s_1}}=κα\frac{1}{|x|^{s_2}}|u|^{α-2}u|v|^β\quad &\hbox{in}\;Ω,\\ -Δv-μ\frac{|v|^{2^*(s_1)-2}v}{|x|^{s_1}}=κβ\frac{1}{|x|^{s_2}}|u|^α|v|^{β-2}v\quad &\hbox{in}\;Ω,\\ (u,v)\in \mathscr{D}:=D_{0}^{1,2}(Ω) imes D_{0}^{1,2}(Ω), \end{cases}$$ where $s_1,s_2\in (0,2), α>1,β>1, λ>0,μ>0,κ eq 0, α+β\leq 2^*(s_2)$. Here, $2^*(s):=\frac{2(N-s)}{N-2}$ is the critical Hardy-Sobolev exponent. We mainly study the critical case (i.e., $α+β=2^*(s_2)$) when $Ω$ is a cone (in particular, $Ω=\R_+^N$ or $Ω=\R^N$). We will establish a sequence of fundamental results including regularity, symmetry, existence and multiplicity, uniqueness and nonexistence, {\it etc.} In particular, the sharp constant and extremal functions to the following kind of double-variable inequalities $$ S_{α,β,λ,μ}(Ω) \Big(\int_Ω\big(λ\frac{|u|^{2^*(s)}}{|x|^s}+μ\frac{|v|^{2^*(s)}}{|x|^s}+2^*(s)κ\frac{|u|^α|v|^β}{|x|^s}\big)dx\Big)^{\frac{2}{2^*(s)}}$$ $$\leq \int_Ω\big(| abla u|^2+| abla v|^2\big)dx$$ for $(u,v)\in {\mathscr{D}} $ will be explored. Further results about the sharp constant $S_{α,β,λ,μ}(Ω)$ with its extremal functions when $Ω$ is a general open domain will be involved.

研究动机与目标

• 分析涉及多个临界 Hardy-Sobolev 指标的非线性椭圆系统解的存在性、多重性与正则性。
• 确定在何种条件下正基态解存在或不存在，特别是在圆锥形区域如 $ \mathbb{R}^N_+ $ 和 $ \mathbb{R}^N $ 中。
• 刻画一般开区域中相关双变量不等式的最佳常数 $ S_{\alpha,\beta,\lambda,\mu}(\Omega) $ 及其极值函数。
• 在临界指数条件下建立无穷多变号解的存在性。
• 利用 Pohozaev 型恒等式与逼近技术，探讨正基态解的对称性、衰减估计与几何结构。

提出的方法

• 在空间 $ \mathscr{D} = D_0^{1,2}(\Omega) \times D_0^{1,2}(\Omega) $ 中采用变分法，分析该系统对应的能量泛函。
• 通过逼近技术，构造系统正则化版本的解，并取极限以恢复原问题的解。
• 对逼近系统应用 Pohozaev 恒等式，推导出非平凡解存在的必要条件，并证明非存在性结果。
• 存在性证明依赖于 Nehari 流形分析，以及通过集中紧致性原理对最低能量水平进行估计。
• 最佳常数 $ S_{\alpha,\beta,\lambda,\mu}(\Omega) $ 被定义为涉及 $ |x|^{-s} $ 权重与临界指数的加权 Sobolev 型不等式中的最优常数。
• 使用截断函数与紧致性论证（Rellich-Kondrachov 定理）控制集中现象，并在弱极限消失的情况下导出矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有多个临界 Hardy-Sobolev 指标的椭圆系统在圆锥形区域中存在非平凡基态解？
• RQ2 最佳常数 $ S_{\alpha,\beta,\lambda,\mu}(\Omega) $ 是什么？其在一般开区域中的极值函数是什么？
• RQ3 系统在何种条件下存在无穷多变号解？这又如何依赖于参数 $ \alpha, \beta, s_1, s_2 $？
• RQ4 能否在特定参数关系下建立正基态解的唯一性或非存在性？
• RQ5 解的对称性、衰减性与正则性特征如何依赖于 $ \Omega $ 的几何结构及 $ s_1, s_2 $ 的取值？

主要发现

• 当 $ \Omega = \mathbb{R}^N_+ $ 或 $ \mathbb{R}^N $，且满足临界条件 $ \alpha + \beta = 2^*(s_2) $ 时，系统存在正基态解。
• 最佳常数 $ S_{\alpha,\beta,\lambda,\mu}(\Omega) $ 达到当且仅当极值函数为正且对称，其显式衰减估计通过 Pohozaev 恒等式导出。
• 当 $ s_1 = s_2 = s \in (0,2) $ 且满足临界指数条件 $ \alpha + \beta = 2^*(s) $ 时，存在无穷多变号解。
• 当 $ \lambda, \mu $ 足够大或 $ \kappa $ 较小时，通过 Pohozaev 型恒等式证明了非平凡基态解的非存在性。
• 近似系统最低能量水平 $ c_{\varepsilon} $ 满足 $ \lim_{\varepsilon \to 0} c_{\varepsilon} \geq c_0 > 0 $，意味着弱极限非消失，从而存在非平凡解。
• 当 $ s_1 \neq s_2 $ 时，通过逼近、能量估计与紧致性论证，建立了正基态解的存在性，且极限解满足原系统。