[论文解读] On entropic and almost multilinear representability of matroids

Lukas Kühne, Geva Yashfe|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2022

Computability, Logic, AI Algorithms被引用 5

一句话总结

本文证明了两个广义拟阵可表示性问题的算法不可判定性：通过离散型随机变量实现的熵可表示性，以及通过域上子空间构型实现的近乎多重线性可表示性。作者通过从有限群的统一词问题和索菲克群词问题的约化，证明了不存在任何算法可以判定给定拟阵是否具有此类表示，从而解决了信息论、网络编码和秘密共享领域长期存在的问题。

ABSTRACT

This article studies two notions of generalized matroid representations motivated by algorithmic information theory and cryptographic secret sharing. The first (entropic representability) involves discrete random variables, while the second (almost-multilinear representability) deals with approximate subspace arrangements. In both cases, we prove that determining whether an input matroid has such a representation is undecidable. Consequently, the conditional independence implication problem is also undecidable, providing an independent answer to a question posed by Geiger and Pearl, recently resolved by Cheuk Ting Li. These problems are also closely related to characterizing achievable rates in network coding and constructing secret sharing schemes. For example, another corollary of our work is that deciding whether an access structure admits an ideal secret sharing scheme is undecidable. Our approach reduces undecidable problems from group theory to matroid representation problems. Specifically, we reduce the uniform word problem for finite groups to entropic representability and the word problem for sofic groups to almost-multilinear representability. A key part of this reduction involves modifying group presentations into forms where linear representations are generic in an appropriate sense when restricted to the generating set.

研究动机与目标

• 研究熵拟阵表示的算法可判定性，其中拟阵的秩函数对应于离散型随机变量的缩放熵。
• 考察近乎多重线性可表示性，其中拟阵的秩由域上子空间构型的缩放维数近似表示。
• 解决这些广义可表示性问题的可判定性状态，这些问题在条件独立性蕴含、网络编码和秘密共享方案中具有核心地位。
• 建立拟阵可表示性与深层代数问题之间的联系，特别是有限群和索菲克群的词问题。
• 证明理想秘密共享方案的存在性以及网络编码中近似线性解的存在性在算法上是不可判定的。

提出的方法

• 通过群代数上的冯·斯陶特型构造，将熵拟阵表示（EMR）问题约化为有限群的统一词问题。
• 构造一族其熵可表示性取决于群词问题可解性的拟阵，利用熵约束和随机变量构造。
• 对近乎多重线性拟阵表示（AMMR）问题应用类似的约化，使用具有误差有界的复合运算的范畴的度量超乘积。
• 使用度量超乘积和无穷小等价关系来建模近似表示，确保在极限中态射等式对应于有限结构中的近似等式。
• 通过有限表示的范畴及其到度量范畴的同态，将关系从有限近似提升至极限范畴。
• 证明：若关系在一系列结构中满足至误差 $1/n$，则其超乘积在极限中精确满足关系，从而实现到极限范畴的函子性提升。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个算法，可判定给定拟阵是否为熵拟阵，即是否存在一组离散型随机变量，使得其联合分布的秩等于缩放熵？
• RQ2 能否算法性地判定一个拟阵是否具有近乎多重线性表示，即是否能被域上子空间维数任意逼近？
• RQ3 给定访问结构是否存在理想秘密共享方案，该问题是否为可判定问题？
• RQ4 由于条件独立性蕴含问题等价于熵可表示性，该问题是否可判定？
• RQ5 鉴于其与近乎多重线性可表示性的联系，能否算法性地判定网络编码实例是否存在近似线性向量编码解？

主要发现

• 熵拟阵表示（EMR）问题在算法上是不可判定的，意味着不存在通用算法可判定一个拟阵是否源于一组离散型随机变量的联合分布，且其秩函数与缩放熵相匹配。
• 近乎多重线性拟阵表示（AMMR）问题同样是不可判定的，这意味着不存在算法可判定一个拟阵是否能被域上子空间维数任意逼近。
• EMR的不可判定性意味着判定给定访问结构是否允许理想秘密共享方案的问题是不可判定的，从而解决了长期悬而未决的开放问题。
• AMMR的不可判定性意味着判定网络编码实例是否允许近似线性向量编码解的问题也是不可判定的，扩展了关于线性解的先前结果。
• 这些结果通过从有限群的统一词问题和索菲克群词问题的约化建立，揭示了拟阵理论与群论之间深刻的联系。
• 使用度量超乘积和无穷小等价关系，可构造出极限范畴，使得有限结构中的近似等式在极限中成为精确等式，从而实现关系在近似结构之间的传递。