[论文解读] On epsilon factors attached to supercuspidal representations of unramified U(2,1)

Michitaka Miyauchi|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用 6

一句话总结

本论文通过新形式的zeta积分，形式化并证明了关于p进域F（p ≠ 2）上非分歧酉群U(2,1)的广义超临界表示的ε因子与L函数的一个猜想。研究确立了：特定Schwartz函数下新形式的zeta积分计算出L因子，且ε因子为q_F^{-c(π)s}的常数倍，将Casselman–Deligne的GL(2)理论推广至U(2,1)。

ABSTRACT

Let G be the unramified unitary group in three variables defined over a p-adic field F of odd resudual characteristic. Gelbart, Piatetski-Shapiro and Baruch attached zeta integrals of Rankin-Selberg type to irreducible generic representations of G. In this paper, we formulate a conjecture on L- and epsilon-factors defined through zeta integrals in terms of local newforms for G, which is an analogue of the result by Casselman and Deligne for GL(2). We prove our conjecture for the generic supercuspidal representations of G.

研究动机与目标

• 将Casselman与Deligne针对GL(2)的局部新形式理论推广至非分歧酉群U(2,1)。
• 提出一个猜想，将U(2,1)广义表示的新形式zeta积分与L因子及ε因子关联起来。
• 特别针对U(2,1)的广义超临界表示，证明该猜想。
• 在U(2,1)的背景下，建立ε因子与导子之间的精确关系，类似于GL(2)的情形。

提出的方法

• 利用先前工作中引入的一族开紧致子群，定义U(2,1)的不可约广义表示的新形式。
• 采用Gelbart、Piatetski-Shapiro与Baruch发展的Rankin-Selberg zeta积分，涉及F²上的Whittaker函数与Schwartz函数。
• 在新形式空间上引入Hecke算子与降阶算子，推导出对角矩阵上Whittaker函数值的递推关系。
• 利用算子T的Hecke特征值λ，将新形式的zeta积分表示为Z(s, W_v) = (1 - q^{-2s}) / (1 - ((λ + q²)/q²) q^{-2s})。
• 应用zeta积分的函数方程及ε因子的性质，证明当π为超临界表示时，Z(s, W_v, Φ_{N_π}) = L(s, π)。
• 利用ε因子为单项式（由命题2.14）的性质，排除矛盾并确认L因子的计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过特定Schwartz函数的新形式zeta积分计算出U(2,1)广义表示的L因子？
• RQ2 对于U(2,1)的广义超临界表示π，ε因子ε(s, π, ψ_F, ψ_E)是否为q_F^{-c(π)s}的常数倍，如同GL(2)情形？
• RQ3 当新形式的zeta积分与F²中某特定格的特征函数配对时，是否能得出完整的L因子L(s, π)？
• RQ4 U(2,1)的新形式空间上的Hecke特征值如何与zeta积分的值相关联？
• RQ5 中心特征的何种条件能保证猜想的有效性？这又如何影响超临界表示的证明？

主要发现

• 对于U(2,1)的所有广义超临界表示π，新形式W_v与Schwartz函数Φ_{N_π}的zeta积分等于L(s, π)。
• 新形式的zeta积分显式给出为Z(s, W_v) = (1 - q^{-2s}) / (1 - ((λ + q²)/q²) q^{-2s})，其中λ为新形式空间上的Hecke特征值。
• ε因子满足ε(s, π, ψ_F, ψ_E) = q^{-2N_π(s - 1/2)} L_E(1 - s, 1) / L_E(s, 1)，确认其为单项式。
• 对于超临界表示，ε因子的函数方程与单值性条件强制得出Z(s, W_v, Φ_{N_π}) = L(s, π)，从而证明了猜想。
• 导子c(π) = N_π，且新形式空间V(N_π)为一维，将GL(2)理论推广至U(2,1)。
• 证明依赖于所有超临界表示均满足Hecke算子方法适用的中心特征条件这一事实。