[论文解读] On Extremal Index of max-stable stationary processes

Krzysztof Dȩbicki, Enkelejd Hashorva|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 22被引用 8

一句话总结

本文建立了 Pickands 型常数与 max-stable 平稳过程的极值指数之间的直接联系，推导出当基础过程为高斯过程或 Lévy 过程时，这些常数的新公式和下界。证明了相关 max-stable 过程的极值指数由过程指数的归一化上确界期望的极限决定，从而以过程的方差结构为依据，给出了 Pickands 常数 $\mathcal{H}_W^\delta$ 的显式下界。

ABSTRACT

In this contribution we discuss the relation between Pickands-type constants defined for certain Brown-Resnick stationary process $W(t),t\in R$ as $$\mathcal{H}_W^δ= \lim_{T o\infty} T^{-1} E{ \left(\sup_{t\in δZ \cap [0,T]} e^{W(t)} ight) },\ δ\ge 0$$ (set $0 Z=R$ if $δ=0$) and the extremal index of the associated max-stable stationary process $ξ_W$. We derive several new formulas and obtain lower bounds for $\mathcal{H}_W^δ$ if $W$ is a Gaussian or a Lévy process. As a by-product we show an interesting relation between Pickands constants and lower tail probabilities for fractional Brownian motions.

研究动机与目标

• 阐明 Pickands 型常数 $\mathcal{H}_W^\delta$ 与 max-stable 平稳过程 $\xi_W$ 的极值指数之间的关系。
• 当 $W$ 为高斯过程或 Lévy 过程时，推导出 $\mathcal{H}_W^\delta$ 的新解析公式和非平凡下界。
• 作为副产品，建立 Pickands 常数与分数阶布朗运动下尾概率之间的联系。
• 将 $\mathcal{H}_W^\delta$ 的定义从经典的 Brown-Resnick 情况推广到更广泛的平稳过程类别。

提出的方法

• 利用 Poisson 点过程（强度为 $x^{-2}dx$）对 max-stable 过程的 M3 表示，将 $\mathcal{H}_W^\delta$ 与 $\xi_W^\delta$ 的极值指数联系起来。
• 利用 $\xi_W$ 的平稳性及单位极值极值分布的性质，推导出极限表达式 $\mathcal{H}_W^\delta = \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \mathbb{E}\left[\sup_{t\in\delta\mathbb{Z}\cap[0,T]} e^{W(t)}\right]$。
• 采用矩生成函数技巧并利用增量的独立性，计算 $\mathbb{E}\left[e^{W(t)}\right]$ 和 $\mathbb{E}\left[e^{(W(k\delta) - W(0))/2}\right]$，适用于 Lévy 过程。
• 利用单调收敛定理和标度论证，通过序列 $\delta_n = \eta l^{-n}$ 分析极限 $\lim_{\delta\downarrow 0} \mathcal{H}_W^\delta$。
• 通过涉及 $\mathbb{P}(W(\delta k) + W(\delta l) > 2s)$ 的积分估计和指数矩计算，推导出下界。
• 利用增量的平稳性和 Jensen 不等式，证明 $\lambda = \frac{1}{2}\Phi(1) - \Phi(1/2) > 0$，从而实现正下界的构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 max-stable 平稳过程的极值指数与 Pickands 型常数 $\mathcal{H}_W^\delta$ 之间有何关系？
• RQ2 当 $W$ 为高斯过程或 Lévy 过程时，$\mathcal{H}_W^\delta$ 的显式下界是什么？
• RQ3 Pickands 常数能否与分数阶布朗运动的下尾概率相关联？
• RQ4 $\mathcal{H}_W^\delta$ 在 $\delta \downarrow 0$ 时的行为如何？极限是否存在？
• RQ5 M3 表示如何用于为一般平稳过程的 $\mathcal{H}_W^\delta$ 推导新公式？

主要发现

• max-stable 过程 $\xi_W^\delta(t) = \xi_W(\delta t)$ 的极值指数等于 $\mathcal{H}_W^\delta$，从而在两者之间建立了直接联系。
• 对于 Lévy 过程 $W$，Pickands 常数满足 $\mathcal{H}_W^\delta \geq \frac{1}{\delta} \left(1 - \sum_{k=1}^\infty e^{-\delta k \lambda}\right)_+$，其中 $\lambda = \frac{1}{2}\Phi(1) - \Phi(1/2) > 0$。
• 推导出更强的下界：对任意 $\delta > 0$，有 $\mathcal{H}_W^\delta \geq \frac{1}{\delta} \frac{1 - 2e^{-\delta\lambda}}{1 - e^{-\delta\lambda}}$。
• 在 $\delta = 0$ 的情况下，本文证明了 $\mathcal{H}_W^0 \geq \frac{\lambda}{4} > 0$，表明该常数严格为正。
• 极限 $\lim_{\delta \downarrow 0} \mathcal{H}_W^\delta$ 存在且等于 $\overline{H}_W$，其下界为 $\frac{\lambda}{4}$。
• 揭示了一个意外的联系：Pickands 常数与分数阶布朗运动 $B_H$（Hurst 指数 $H \in (0,1)$）的下尾概率 $\mathbb{P}(B_H(t) < x)$ 相关联。