[论文解读] On Fair Division of Indivisible Items

Bhaskar Chaudhury, Yun Kuen Cheung+4 more|arXiv (Cornell University)|May 16, 2018

Game Theory and Voting Systems被引用 8

一句话总结

本文提出了一种针对具有递减回报和效用上限的不可分物品公平分配的多项式时间近似算法，实现了对纳什社会福利（Nash social welfare）的近似因子 $e^{1/e} \approx 1.445$。该算法在 $2 + \varepsilon$ 因子范围内实现了近似公平性（即最多一个物品的近似 envy-freeness），并保持了近似帕累托最优性，同时证明了两个著名的最优 NSW 上限——CG 上限与 BMV 上限——在数值上是等价的。

ABSTRACT

We consider the task of assigning indivisible goods to a set of agents in a fair manner. Our notion of fairness is Nash social welfare, i.e., the goal is to maximize the geometric mean of the utilities of the agents. Each good comes in multiple items or copies, and the utility of an agent diminishes as it receives more items of the same good. The utility of a bundle of items for an agent is the sum of the utilities of the items in the bundle. Each agent has a utility cap beyond which he does not value additional items. We give a polynomial time approximation algorithm that maximizes Nash social welfare up to a factor of $e^{1/{e}} \approx 1.445$. The computed allocation is Pareto-optimal and approximates envy-freeness up to one item up to a factor of $2 + \eps$

研究动机与目标

• 开发一种针对具有递减边际效用和效用上限的不可分物品公平分配的多项式时间近似算法。
• 实现对纳什社会福利（NSW）的有界近似比，NSW 是基于受限代理效用几何平均值的公平性度量。
• 确保分配在最多一个物品范围内近似满足 envy-freeness，并近似满足帕累托最优性。
• 建立两个已知最优 NSW 上限（CG 上限与 BMV 上限）之间的等价性。

提出的方法

• 使用受限效用建模公平分配问题，并通过每个代理的物品特定估值来刻画递减回报。
• 引入一个数学规划 $P_S$ 以计算最优 NSW 的上界，利用对偶变量和 KKT 条件。
• 利用支出受限的费雪市场均衡概念推导 CG 上限，并通过 KKT 最优性条件将其与 BMV 上限关联。
• 通过变量变换将 $P_S$ 的最优解映射到支出受限的费雪市场，从而证明 CG 上限与 BMV 上限的等价性。
• 采用一种舍入过程，将分数市场分配转换为近似 NSW 和近似 envy-freeness 的整数分配。
• 以 BMV 上限作为近似比分析的基准，表明该算法实现了 $e^{1/e} + \varepsilon$ 的近似比。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种多项式时间算法，在具有递减回报和效用上限的不可分物品公平分配中，实现对纳什社会福利的常数因子近似？
• RQ2 源自支出受限费雪市场的 CG 上限，是否在数值上等同于源自公平性与 MBB 条件的 BMV 上限？
• RQ3 所得分配在多大程度上可实现近似 envy-freeness（即最多一个物品）？
• RQ4 该算法在存在效用上限的情况下，如何保持近似帕累托最优性？
• RQ5 不同理论框架下的最优 NSW 上限能否实现统一？

主要发现

• 所提出的算法对纳什社会福利实现了 $e^{1/e} + \varepsilon \approx 1.445 + \varepsilon$ 的近似比，与先前工作中已知的最佳边界一致。
• 该算法生成的分配在 $2 + \varepsilon$ 因子范围内实现了近似 envy-freeness（即最多一个物品）的近似。
• 该分配是近似帕累托最优的，尤其在无效用上限的实例中表现更优。
• CG 上限与 BMV 上限在最优 NSW 上的数值被证明完全相等，解决了关键的理论问题。
• 该等价性通过 KKT 条件及向支出受限费雪市场的变换得以建立，表明两个上界均源于相同的底层优化结构。
• 该算法在多项式时间内运行，并提供了一个统一框架，将市场均衡、公平性与不可分物品分配中的近似保证联系起来。