[论文解读] On Fejér monotone sequences and nonexpansive mappings

Heinz H. Bauschke, Minh N. Dao+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2015

Optimization and Variational Analysis参考文献 11被引用 7

一句话总结

本文在实希尔伯特空间中建立了费杰尔单调序列的新收敛条件，特别是在有限维和渐近正则性假设下。证明了对于具有余维数至多为1的不动点集的平均非扩张映射，差值序列 $ T^n x - T^n y $ 收敛，从而将收敛结果扩展至标准费杰尔单调性之外，并为优化和不动点理论中迭代算法的分析提供了关键工具。

ABSTRACT

The notion of Fejér monotonicity has proven to be a fruitful concept in fixed point theory and optimization. In this paper, we present new conditions sufficient for convergence of Fejér monotone sequences and we also provide applications to the study of nonexpansive mappings. Various examples illustrate our results.

研究动机与目标

• 确定希尔伯特空间中费杰尔单调序列收敛的新充分条件，特别是在有限维情形下。
• 扩展由非扩张和平均映射生成的序列的收敛结果，特别是当不动点集的余维数较低时。
• 通过分析映射及其不动点集的各类结构假设下 $ T^n x - T^n y $ 的行为，解决不动点理论中的开放问题。
• 通过强化费杰尔单调性和渐近正则性，为凸优化中的迭代算法提供理论基础。

提出的方法

• 将费杰尔单调性分解为两部分：相对于集合 $ E $ 的费杰尔单调性与属于锥 $ K^\oplus $ 的成员关系，当底层集合为 $ E + K $ 时。
• 应用有限维分析，证明若影子序列 $ P_A x_n $ 的所有聚点都在 $ C $ 中，则在相对于 $ C \subseteq A $ 的费杰尔单调性下，有 $ P_A x_n \to \lim P_C x_n $。
• 利用渐近正则性和平均映射的结构，分析 $ T^n x - T^n y $ 的行为，特别在 $ \mathbb{R}^2 $ 和 $ \mathbb{R}^3 $ 中。
• 采用几何与变分技术，包括法锥、投影算子和反射算子的使用，分析道格拉斯-拉赫福德算子的不动点集。
• 利用弱聚点及其与差集 $ C - C $ 的正交性，推导收敛准则。
• 利用已知的非扩张和平均映射结果，推导出蕴含差值序列 $ T^n x - T^n y $ 收敛的递推不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在底层集合内部为空时，费杰尔单调序列在何种条件下强收敛？
• RQ2 当映射 $ v + T $ 的不动点集余维数至多为1时，平均非扩张映射的差值序列 $ T^n x - T^n y $ 是否收敛？
• RQ3 当不动点集为射线时，能否保证在高维空间（如 $ \mathbb{R}^3 $）中 $ T^n x - T^n y $ 的收敛性？
• RQ4 当不动点集为空时，即使映射是平均的，$ T^n x - T^n y $ 的收敛性如何？
• RQ5 在 $ \mathbb{R}^3 $ 中，道格拉斯-拉赫福德算子的 $ T^n x + nv $ 是否收敛，即使不动点集余维数为2？

主要发现

• 在有限维空间中，若 $ P_A x_n $ 的所有聚点都在 $ C $ 中，则在 $ (x_n) $ 相对于 $ C \subseteq A $ 费杰尔单调的条件下，有 $ P_A x_n \to \lim P_C x_n $。
• 在 $ \mathbb{R} $ 上，对于平均非扩张映射，若满足某些有界性和符号变化条件，则即使 $ \operatorname{Fix}(T) = \varnothing $，差值序列 $ T^n x - T^n y $ 也收敛。
• 在 $ \mathbb{R}^2 $ 中，若 $ T $ 是平均的，$ v \neq 0 $，且 $ \operatorname{Fix}(v+T) \neq \varnothing $，则 $ T^n x - T^n y $ 收敛，如推论 3.12 所示。
• 在有限维空间 $ X $ 中，若 $ T $ 是平均的且 $ \operatorname{codim}(\operatorname{Fix}(v+T)) \leq 1 $，则 $ T^n x - T^n y $ 收敛，如定理 3.11 所建立。
• 在 $ \mathbb{R}^3 $ 中，道格拉斯-拉赫福德算子的序列 $ T^n x + nv $ 收敛，即使 $ \operatorname{Fix}(v+T) $ 是一条射线（余维数为2），表明其收敛范围广于现有定理所覆盖的范围。
• 基于例 4.1 的数值证据，本文推测在 $ \mathbb{R}^3 $ 中，道格拉斯-拉赫福德算子的 $ T^n x + nv $ 收敛。