[论文解读] On finite volume, negatively curved manifolds

T. Tâm Nguyễn Phan|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用 7

一句话总结

该论文在所有维度 $n \geq 2$ 下构造了具有无限生成基本群和非双曲端点的有限体积、负曲率流形，表明在无界负曲率下双曲性不成立。论文建立了曲率增长与体积衰减之间的条件以保证双曲性，并表明此类流形的万有覆叠可能不满足可见性公理，从而挑战了几何拓扑中的既有假设。

ABSTRACT

We study noncompact, complete, finite volume, negatively curved manifolds $M$. We construct $M$ with infinitely generated fundamental groups in all dimensions $n \geq 2$. We construct $M$ whose cusp cross sections are compact hyperbolic manifolds in all dimension $n\geq 3$. In contrast we show that if sectional curvature $-1

研究动机与目标

• 研究当曲率钳制条件被放松时，有限体积、负曲率流形的拓扑与几何行为。
• 构造具有无限生成基本群和非双曲端点的此类流形的示例。
• 识别确保拓扑有限性（即双曲性）的曲率与体积衰减条件。
• 检查有限体积、负曲率流形的万有覆叠是否满足可见性公理。
• 对双曲、有限体积、负曲率流形中可能的柱状截面进行分类。

提出的方法

• 通过在双曲流形上进行手术构造 $n$ 维流形 $M$，移除一条测地线圈 $H$，以生成具有无界负曲率的非双曲端点。
• 在 $H$ 的管状邻域上使用度量 $g = \cosh^2(r)du^2 + \sinh^2(r)d\theta^2 + f(r)^2dr^2$，其中 $f(r)$ 为凸函数且当 $r \to 0$ 时发散。
• 利用旋转曲面上测地线的角动量守恒来分析测地线射线的渐近行为。
• 证明初始角度 $\alpha_0$ 满足 $\rho_0 \sin \alpha_0 < h$ 的测地线射线将保持在曲面上，且不会在无穷远处收敛于同一点。
• 证明不存在任何测地线连接两条此类射线的理想端点，从而表明万有覆叠中可见性公理不成立。
• 通过限制在包含测地线圈的全测地3维子流形上，将三维情形的论证推广至高维。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限体积、负曲率流形是否可以具有无限生成基本群和非双曲端点？
• RQ2 何种曲率增长与体积衰减条件可保证有限体积、负曲率流形的双曲性？
• RQ3 有限体积、负曲率流形的万有覆叠是否可能不满足可见性公理？
• RQ4 在双曲、有限体积、负曲率流形中，哪些紧致流形可作为柱状截面出现？
• RQ5 若曲率增长足够缓慢，是否无论体积衰减如何，拓扑有限性均能保证？

主要发现

• 对每个 $n \geq 2$，存在一个完备的、有限体积的、负曲率的 $n$-流形，其具有无限多个端点且满足 $K(M) < -1$，表明在无曲率钳制下双曲性不成立。
• 对每个 $n > 2$，存在两端、有限体积、负曲率的流形，其基本群无限生成，且端点不与射线拟等距。
• 曲率增长与体积衰减条件 $\lim_{r \to \infty} b_p(r)^n \cdot \text{Vol}(A_p(r))^2 = 0$ 可保证流形的双曲性。
• 对任意非减函数 $f$，存在一个有限体积、负曲率的流形，满足 $b_p(r) < f(r)$ 且基本群无限生成，表明仅靠曲率增长无法保证有限性。
• 某些有限体积、负曲率流形的万有覆叠不满足可见性公理，这通过边界无穷远处不连通的测地线射线得到证明。
• 双曲、有限体积、负曲率流形的柱状截面在所有维度 $n \geq 3$ 下均可为紧致双曲流形。