[论文解读] On Gallai's and Hajós' Conjectures for graphs with treewidth at most 3

Fábio Botler, Maycon Sambinelli+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 12被引用 5

一句话总结

该论文验证了 treewidth 不超过 3 的图的 Gallai 和 Hajós 猜想，证明此类图分别具有大小至多为 ⌊n/2⌋ 的路径分解和大小至多为 ⌊(n−1)/2⌋ 的环分解。关键贡献在于识别出唯一违反更紧致边界 ⌊n/2⌋ 的 treewidth ≤3 图为 K₃ 和 K₅−e，并引入一种基于 r-缩减子图的新约简技术，以证明该类图的两个猜想，同时将现有结果扩展至最大度数 ≤4 及围长 ≥6 的平面图。

ABSTRACT

A path (resp. cycle) decomposition of a graph $G$ is a set of edge-disjoint paths (resp. cycles) of $G$ that covers the edge set of $G$. Gallai (1966) conjectured that every graph on $n$ vertices admits a path decomposition of size at most $\lfloor (n+1)/2 floor$, and Hajós (1968) conjectured that every Eulerian graph on $n$ vertices admits a cycle decomposition of size at most $\lfloor (n-1)/2 floor$. Gallai's Conjecture was verified for many classes of graphs. In particular, Lovász (1968) verified this conjecture for graphs with at most one vertex of even degree, and Pyber (1996) verified it for graphs in which every cycle contains a vertex of odd degree. Hajós' Conjecture, on the other hand, was verified only for graphs with maximum degree $4$ and for planar graphs. In this paper, we verify Gallai's and Hajós' Conjectures for graphs with treewidth at most $3$. Moreover, we show that the only graphs with treewidth at most $3$ that do not admit a path decomposition of size at most $\lfloor n/2 floor$ are isomorphic to $K_3$ or $K_5-e$. Finally, we use the technique developed in this paper to present new proofs for Gallai's and Hajós' Conjectures for graphs with maximum degree at most $4$, and for planar graphs with girth at least $6$.

研究动机与目标

• 解决 treewidth 不超过 3 的图的 Gallai 和 Hajós 猜想。
• 识别此类图中违反更紧致路径分解边界 ⌊n/2⌋ 的最小例外。
• 开发一种基于 r-缩减子图的一般约简技术，以证明更广泛图类的猜想。
• 将该方法的应用范围扩展至最大度数不超过 4 的图以及围长至少为 6 的平面图。
• 为此前已验证的猜想情况提供新的、自包含的证明。

提出的方法

• 引入 r-缩减子图 H 的概念，其中移除 E(H) 后，非孤立顶点数至少减少 2r，且 H 允许大小至多为 r 的路径分解。
• 构建 H，使得剩余图 G′ 的每个连通分量均满足路径分解边界 ⌊|V(C′)|/2⌋。
• 利用 H 和 G′ 的分解结果，组合成大小至多为 ⌊n/2⌋ 的全局路径分解，从而证明 treewidth ≤3 情况下的 Gallai 猜想。
• 将相同约简策略应用于环分解，以验证同一类图的 Hajós 猜想。
• 将该技术应用于重新证明最大度数 ≤4 及围长 ≥6 的平面图的 Gallai 和 Hajós 猜想。
• 通过案例分析和环分解构造（如 D₁ 至 D₆）验证子图中环数的边界，利用对称性和极值假设。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些 treewidth 不超过 3 的图不具有大小至多为 ⌊n/2⌋ 的路径分解？
• RQ2 r-缩减子图技术能否用于验证 treewidth ≤3 图的 Gallai 猜想？
• RQ3 相同方法是否可扩展至验证 treewidth ≤3 图的 Hajós 猜想？
• RQ4 该约简技术能否用于证明最大度数不超过 4 及围长至少为 6 的平面图的 Gallai 和 Hajós 猜想？
• RQ5 在 treewidth ≤3 的图中，违反更紧致路径分解边界的最小反例是什么？

主要发现

• 唯一不具有大小至多为 ⌊n/2⌋ 的路径分解的 treewidth 不超过 3 的图是同构于 K₃ 或 K₅−e 的图。
• 所有 treewidth 不超过 3 的图均满足 Gallai 猜想，其路径数被 ⌊n/2⌋ 限制，但 K₃ 和 K₅−e 除外。
• 所有 treewidth 不超过 3 的欧拉图均满足 Hajós 猜想，其环数被 ⌊(n−1)/2⌋ 限制。
• 本文为最大度数不超过 4 的图提供了 Gallai 和 Hajós 猜想的新证明。
• 该技术成功验证了围长至少为 6 的平面图的两个猜想。
• 基于 r-缩减子图的约简方法在通过组合局部分解与全局边界来证明多个图类的猜想方面是有效的。